Номер 11.143, страница 226 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Энергия связи атомных ядер. Ядерные реакции. Энергетический выход ядерных реакций - номер 11.143, страница 226.

Условие.

11.143. Для осуществления термоядерного синтеза (слияния лёгких ядер в одно ядро) требуется преодолеть кулоновское отталкивание ядер. Оцените (в МэВ), какой кинетической энергией должны обладать два протона, чтобы сблизиться на расстояние $2 \cdot 10^{-15}$ м (радиус действия ядерных сил). Какой температуре теплового движения соответствует такая кинетическая энергия?

Решение.

Дано:

Расстояние сближения протонов, $r = 2 \cdot 10^{-15}$ м

Заряд протона, $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Электрическая постоянная, $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Постоянная Больцмана, $k_B = 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Найти:

$E_k$ — ? (в МэВ)

$\text{T}$ — ? (в К)

Решение:

Оценка кинетической энергии, необходимой для сближения протонов

Для того чтобы два протона смогли сблизиться на расстояние $\text{r}$, равное радиусу действия ядерных сил, их начальная суммарная кинетическая энергия $E_k$ должна быть не меньше, чем потенциальная энергия их кулоновского отталкивания $E_p$ на этом расстоянии. Согласно закону сохранения энергии, в момент максимального сближения вся кинетическая энергия протонов переходит в потенциальную:

$E_k = E_p$

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$ вычисляется по формуле:

$E_p = k \frac{q_1 q_2}{r}$

Поскольку протоны имеют одинаковый заряд $q_1 = q_2 = e$, то необходимая суммарная кинетическая энергия равна:

$E_k = k \frac{e^2}{r}$

Подставим известные значения в систему СИ:

$E_k = (9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{2 \cdot 10^{-15} \text{ м}} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2.56 \cdot 10^{-38}}{2 \cdot 10^{-15}} = 1.152 \cdot 10^{-13}$ Дж

Теперь переведем полученное значение энергии из джоулей в мегаэлектронвольты (МэВ), зная, что 1 МэВ ≈ $1.6 \cdot 10^{-13}$ Дж:

$E_k (\text{МэВ}) = \frac{1.152 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}}{1.6 \cdot 10^{-13} \text{ Дж/МэВ}} = 0.72$ МэВ

Ответ: Два протона должны обладать суммарной кинетической энергией около 0.72 МэВ.

Оценка температуры, соответствующей данной кинетической энергии

Теперь оценим, какой температуре теплового движения соответствует найденная кинетическая энергия. Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной частицы (протона) при абсолютной температуре $\text{T}$ связана с ней соотношением:

$\langle E_{1} \rangle = \frac{3}{2} k_B T$

где $k_B$ — постоянная Больцмана.

Для столкновения двух частиц их суммарная средняя кинетическая энергия будет равна сумме их средних энергий:

$\langle E_{total} \rangle = \langle E_{1} \rangle + \langle E_{2} \rangle = 2 \cdot \frac{3}{2} k_B T = 3 k_B T$

Чтобы оценить необходимую температуру, приравняем эту среднюю суммарную энергию к кинетической энергии $E_k$, требуемой для преодоления кулоновского барьера:

$E_k = 3 k_B T$

Отсюда выражаем температуру $\text{T}$:

$T = \frac{E_k}{3 k_B}$

Подставим числовые значения ($E_k$ в джоулях):

$T = \frac{1.152 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}}{3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}} = \frac{1.152}{4.14} \cdot 10^{10} \text{ К} \approx 0.278 \cdot 10^{10}$ К

Округляя, получаем $T \approx 2.8 \cdot 10^9$ К.

Ответ: Такая кинетическая энергия соответствует температуре теплового движения порядка $2.8 \cdot 10^9$ К.