Номер 11.147, страница 226 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Энергия связи атомных ядер. Ядерные реакции. Энергетический выход ядерных реакций - номер 11.147, страница 226.

Условие.

11.147**. Неподвижное ядро $^{10}_{5}\text{B}$ захватывает медленный нейтрон, в результате образуется ядро лития и $\alpha$-частица. Найдите скорость $\alpha$-частицы.

Решение.

Дано:

Реакция захвата медленного нейтрона неподвижным ядром бора-10.
Начальная скорость ядра бора: $v_B = 0$ м/с.
Начальная скорость нейтрона: $v_n \approx 0$ м/с.
Массы частиц (справочные данные):
Масса нейтрона: $m_n = 1.008665$ а.е.м.
Масса ядра бора-10: $m(^{10}B) = 10.012937$ а.е.м.
Масса ядра лития-7: $m(^{7}Li) = 7.016004$ а.е.м.
Масса $\alpha$-частицы (ядра гелия-4): $m_{\alpha} = 4.002603$ а.е.м.

Константы:
Атомная единица массы: $1 \text{ а.е.м.} \approx 1.66054 \times 10^{-27} \text{ кг}$.
Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$.
Электрон-вольт: $1 \text{ эВ} = 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж}$.

Масса $\alpha$-частицы в СИ:
$m_{\alpha} = 4.002603 \text{ а.е.м.} \times 1.66054 \times 10^{-27} \frac{\text{кг}}{\text{а.е.м.}} \approx 6.6465 \times 10^{-27} \text{ кг}$.

Найти:

$v_{\alpha}$ — скорость $\alpha$-частицы.

Решение:

1. Запишем уравнение ядерной реакции. Ядро бора-10 ($^{10}_5B$) захватывает нейтрон ($^1_0n$) и распадается на ядро лития ($^A_ZLi$) и $\alpha$-частицу ($^4_2He$). Применим законы сохранения массового числа (A) и заряда (Z):
$A: 10 + 1 = A + 4 \implies A = 7$
$Z: 5 + 0 = Z + 2 \implies Z = 3$
Таким образом, образуется ядро лития-7 ($^7_3Li$). Полное уравнение реакции:
$^1_0n + ^{10}_5B \rightarrow ^7_3Li + ^4_2He$

2. Воспользуемся законом сохранения импульса. Так как начальные частицы (ядро бора и медленный нейтрон) покоились, начальный импульс системы равен нулю. Следовательно, суммарный импульс продуктов реакции также равен нулю:
$\vec{p}_{нач} = 0 \implies \vec{p}_{кон} = \vec{p}_{Li} + \vec{p}_{\alpha} = 0$
Отсюда следует, что импульсы ядра лития и $\alpha$-частицы равны по модулю и противоположны по направлению:
$p_{Li} = p_{\alpha}$
$m_{Li}v_{Li} = m_{\alpha}v_{\alpha}$

3. Применим закон сохранения энергии. Энергия, выделившаяся в результате реакции (Q), переходит в кинетическую энергию продуктов распада:
$Q = K_{Li} + K_{\alpha}$
Энергия $\text{Q}$ определяется дефектом масс $\Delta m$:
$Q = \Delta m \cdot c^2 = (m_n + m(^{10}B) - m(^{7}Li) - m_{\alpha}) \cdot c^2$
Подставим значения масс в а.е.м.:
$\Delta m = (1.008665 + 10.012937) - (7.016004 + 4.002603) = 11.021602 - 11.018607 = 0.002995 \text{ а.е.м.}$
Вычислим энергию, выделившуюся в реакции:
$Q = 0.002995 \text{ а.е.м.} \times 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 2.79 \text{ МэВ}$

4. Выразим кинетическую энергию продуктов реакции через их импульсы: $K = \frac{p^2}{2m}$. Так как $p_{Li} = p_{\alpha}$, то отношение их кинетических энергий обратно пропорционально отношению их масс:
$\frac{K_{Li}}{K_{\alpha}} = \frac{p_{Li}^2 / (2m_{Li})}{p_{\alpha}^2 / (2m_{\alpha})} = \frac{m_{\alpha}}{m_{Li}}$
Найдем кинетическую энергию $\alpha$-частицы. Из $K_{Li} = K_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{m_{Li}}$ и $Q = K_{Li} + K_{\alpha}$ получаем:
$Q = K_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{m_{Li}} + K_{\alpha} = K_{\alpha} \left(1 + \frac{m_{\alpha}}{m_{Li}}\right) = K_{\alpha} \frac{m_{Li} + m_{\alpha}}{m_{Li}}$
Отсюда:
$K_{\alpha} = Q \frac{m_{Li}}{m_{Li} + m_{\alpha}}$
Подставим значения:
$K_{\alpha} = 2.79 \text{ МэВ} \times \frac{7.016004}{7.016004 + 4.002603} = 2.79 \text{ МэВ} \times \frac{7.016004}{11.018607} \approx 1.776 \text{ МэВ}$

5. Найдем скорость $\alpha$-частицы, используя классическую формулу для кинетической энергии $K_{\alpha} = \frac{1}{2}m_{\alpha}v_{\alpha}^2$. Сначала переведем энергию $K_{\alpha}$ в джоули:
$K_{\alpha} \approx 1.776 \text{ МэВ} = 1.776 \times 10^6 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2.845 \times 10^{-13} \text{ Дж}$
Теперь вычислим скорость:
$v_{\alpha} = \sqrt{\frac{2K_{\alpha}}{m_{\alpha}}} = \sqrt{\frac{2 \times 2.845 \times 10^{-13} \text{ Дж}}{6.6465 \times 10^{-27} \text{ кг}}} \approx \sqrt{0.856 \times 10^{14}} \text{ м/с} \approx 9.25 \times 10^6 \text{ м/с}$

Ответ: $v_{\alpha} \approx 9.25 \times 10^6$ м/с.