Номер 11.148, страница 226 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Энергия связи атомных ядер. Ядерные реакции. Энергетический выход ядерных реакций - номер 11.148, страница 226.

Условие.

11.148** Неподвижное ядро радия $^ {226}_{88}\text{Ra}$ испытывает $\alpha$-распад.

Найдите скорость $\alpha$-частицы.

Решение.

Дано:

Неподвижное ядро радия-226: $_{88}^{226}Ra$

Начальная скорость ядра: $v_{Ra,i} = 0$

Справочные данные:

Масса ядра радия $_{88}^{226}Ra$: $m_{Ra} = 226,02541$ а.е.м.

Масса $\alpha$-частицы ($_{2}^{4}He$): $m_{\alpha} = 4,00260$ а.е.м.

Масса ядра радона $_{86}^{222}Rn$: $m_{Rn} = 222,01758$ а.е.м.

Атомная единица массы: $1 \text{ а.е.м.} \approx 1,6605 \times 10^{-27}$ кг

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $E_u \approx 931,5$ МэВ

1 МэВ = $10^6 \text{ эВ} = 1,602 \times 10^{-13}$ Дж

Найти:

Скорость $\alpha$-частицы: $v_{\alpha}$

Решение:

1. Запишем уравнение реакции $\alpha$-распада ядра радия-226. При $\alpha$-распаде ядро испускает $\alpha$-частицу (ядро гелия $_{2}^{4}He$) и превращается в ядро другого элемента, у которого массовое число меньше на 4, а зарядовое число меньше на 2. Таким элементом является радон ($\text{Rn}$).

$_{88}^{226}Ra \rightarrow _{86}^{222}Rn + _{2}^{4}He$

2. Согласно условию, начальное ядро радия покоится, следовательно, его импульс равен нулю. В соответствии с законом сохранения импульса, суммарный импульс продуктов распада (ядра радона и $\alpha$-частицы) также должен быть равен нулю.

$\vec{p}_{Ra,i} = 0$

$\vec{p}_{Rn} + \vec{p}_{\alpha} = 0$

Отсюда следует, что векторы импульсов ядра радона и $\alpha$-частицы равны по модулю и противоположны по направлению:

$p_{Rn} = p_{\alpha} = p$

3. Энергия, выделяющаяся в результате распада, переходит в кинетическую энергию продуктов распада. Эта энергия ($\text{Q}$) определяется дефектом масс:

$Q = \Delta E = (m_{Ra} - (m_{Rn} + m_{\alpha}))c^2$

Подставим значения масс в а.е.м.:

$\Delta m = 226,02541 - (222,01758 + 4,00260) = 226,02541 - 226,02018 = 0,00523$ а.е.м.

Вычислим выделившуюся энергию в МэВ:

$Q = 0,00523 \text{ а.е.м.} \times 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 4,871$ МэВ

4. Эта энергия распределяется между ядром радона и $\alpha$-частицей в виде их кинетических энергий:

$Q = K_{Rn} + K_{\alpha}$

Кинетическую энергию можно выразить через импульс: $K = \frac{p^2}{2m}$.

$Q = \frac{p^2}{2m_{Rn}} + \frac{p^2}{2m_{\alpha}}$

Выразим импульс $\text{p}$ через кинетическую энергию $\alpha$-частицы: $p^2 = 2m_{\alpha}K_{\alpha}$.

Подставим это выражение в уравнение для энергии:

$Q = \frac{2m_{\alpha}K_{\alpha}}{2m_{Rn}} + K_{\alpha} = K_{\alpha}(\frac{m_{\alpha}}{m_{Rn}} + 1) = K_{\alpha}(\frac{m_{\alpha} + m_{Rn}}{m_{Rn}})$

Отсюда найдем кинетическую энергию $\alpha$-частицы:

$K_{\alpha} = Q \frac{m_{Rn}}{m_{Rn} + m_{\alpha}}$

Для оценки можно использовать отношение массовых чисел $\text{A}$ вместо масс:

$K_{\alpha} \approx Q \frac{A_{Rn}}{A_{Rn} + A_{\alpha}} = 4,871 \text{ МэВ} \times \frac{222}{222 + 4} = 4,871 \times \frac{222}{226} \approx 4,784$ МэВ

5. Теперь найдем скорость $\alpha$-частицы, зная ее кинетическую энергию. Так как скорость частицы значительно меньше скорости света, используем классическую формулу кинетической энергии:

$K_{\alpha} = \frac{m_{\alpha}v_{\alpha}^2}{2}$

Отсюда скорость:

$v_{\alpha} = \sqrt{\frac{2K_{\alpha}}{m_{\alpha}}}$

Переведем значения $K_{\alpha}$ и $m_{\alpha}$ в систему СИ:

$K_{\alpha} \approx 4,784 \text{ МэВ} = 4,784 \times 10^6 \times 1,602 \times 10^{-19} \text{ Дж} \approx 7,664 \times 10^{-13}$ Дж

$m_{\alpha} = 4,00260 \text{ а.е.м.} \times 1,6605 \times 10^{-27} \frac{\text{кг}}{\text{а.е.м.}} \approx 6,646 \times 10^{-27}$ кг

Подставляем значения и вычисляем скорость:

$v_{\alpha} = \sqrt{\frac{2 \times 7,664 \times 10^{-13} \text{ Дж}}{6,646 \times 10^{-27} \text{ кг}}} \approx \sqrt{2,306 \times 10^{14} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 1,518 \times 10^7$ м/с

Ответ: $v_{\alpha} \approx 1,52 \times 10^7$ м/с.