Номер 11.152, страница 227 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Энергия связи атомных ядер. Ядерные реакции. Энергетический выход ядерных реакций - номер 11.152, страница 227.

Условие.

11.152**. При попадании протона в ядро лития ${}_3^7\text{Li}$ образуются два одинаковых ядра, разлетающихся симметрично по отношению к налетающему протону. Угол разлёта ядер $170^\circ$. Запишите уравнение ядерной реакции. Найдите:

a) отношение кинетической энергии протона к суммарной кинетической энергии продуктов реакции;

б) кинетическую энергию налетающих протонов.

Решение.

Дано:
Реакция: $p + ^7_3Li \rightarrow X + X$
Угол разлета продуктов реакции: $\phi = 170^\circ$
Масса атома водорода $^1_1H$: $m_H = 1.007825$ а.е.м.
Масса атома лития $^7_3Li$: $m_{Li} = 7.016004$ а.е.м.
Масса атома гелия $^4_2He$: $m_{He} = 4.002603$ а.е.м.
Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $E_{аем} = 931.5 \text{ МэВ/c}^2$

Найти:
Уравнение ядерной реакции;
а) $\frac{K_p}{K_{prod}}$ - отношение кинетической энергии протона к суммарной кинетической энергии продуктов;
б) $K_p$ - кинетическую энергию налетающего протона.

Решение:

Сначала запишем уравнение ядерной реакции. Пусть искомое ядро-продукт будет $^A_Z X$. Реакция имеет вид: $^1_1p + ^7_3Li \rightarrow ^A_Z X + ^A_Z X$. Применяя законы сохранения зарядового числа ($1 + 3 = Z + Z \Rightarrow Z=2$) и массового числа ($1 + 7 = A + A \Rightarrow A=4$), определяем, что продуктами реакции являются два ядра гелия-4 ($^4_2He$), или альфа-частицы.Уравнение реакции:$^1_1p + ^7_3Li \rightarrow ^4_2He + ^4_2He$

а) отношение кинетической энергии протона к суммарной кинетической энергии продуктов реакции
Для нахождения отношения кинетических энергий воспользуемся законом сохранения импульса. Пусть протон движется вдоль оси Ох, а ядро лития покоится. После реакции два ядра гелия разлетаются симметрично относительно оси Ох под углом $\theta = \phi / 2 = 170^\circ / 2 = 85^\circ$ к ней. Из симметрии следует, что модули импульсов образовавшихся ядер равны, $p_\alpha$. Закон сохранения импульса в проекции на ось Ох: $p_p = 2p_\alpha \cos\theta$. Кинетическая энергия связана с импульсом как $K = p^2/(2m)$. Тогда кинетическая энергия протона $K_p = p_p^2/(2m_p)$, а суммарная кинетическая энергия продуктов $K_{prod} = 2 \cdot p_\alpha^2/(2m_\alpha) = p_\alpha^2/m_\alpha$.Найдем их отношение:$\frac{K_p}{K_{prod}} = \frac{p_p^2 / (2m_p)}{p_\alpha^2 / m_\alpha} = \frac{(2p_\alpha \cos\theta)^2}{2m_p} \cdot \frac{m_\alpha}{p_\alpha^2} = \frac{4p_\alpha^2 \cos^2\theta \cdot m_\alpha}{2m_p \cdot p_\alpha^2} = \frac{2m_\alpha \cos^2\theta}{m_p}$.Используя приближенные массы частиц, равные их массовым числам ($m_p \approx 1$ а.е.м., $m_\alpha \approx 4$ а.е.м.), получаем:$\frac{K_p}{K_{prod}} \approx \frac{2 \cdot 4 \cdot \cos^2(85^\circ)}{1} = 8 \cos^2(85^\circ) \approx 8 \cdot (0.0872)^2 \approx 0.061$.
Ответ: Отношение кинетической энергии протона к суммарной кинетической энергии продуктов реакции составляет примерно 0.061.

б) кинетическую энергию налетающих протонов
Для нахождения кинетической энергии протона воспользуемся законом сохранения энергии: $K_p + (m_p + m_{Li})c^2 = K_{prod} + 2m_\alpha c^2$. Отсюда, $K_{prod} - K_p = (m_p + m_{Li} - 2m_\alpha)c^2 = \Delta E_0$, где $\Delta E_0$ - энергетический выход реакции. Рассчитаем его через дефект масс, используя массы атомов (т.к. число электронов сохраняется):$\Delta m = (m_H + m_{Li}) - 2m_{He} = (1.007825 + 7.016004) - 2 \cdot 4.002603 = 0.018623$ а.е.м.$\Delta E_0 = \Delta m \cdot 931.5 \text{ МэВ/а.е.м.} = 0.018623 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 17.346 \text{ МэВ}$.Из пункта (а) имеем отношение $R = \frac{K_p}{K_{prod}}$. Тогда $K_{prod} = K_p/R$. Подставляем в закон сохранения энергии:$K_p/R - K_p = \Delta E_0 \Rightarrow K_p(\frac{1}{R}-1) = \Delta E_0 \Rightarrow K_p = \frac{\Delta E_0 \cdot R}{1-R}$.Для более точного расчета используем отношение масс ядер (масса протона $m_p \approx 1.007276$ а.е.м., масса альфа-частицы $m_\alpha \approx 4.001505$ а.е.м.).$R = \frac{2m_\alpha \cos^2(85^\circ)}{m_p} = \frac{2 \cdot 4.001505 \cdot \cos^2(85^\circ)}{1.007276} \approx 0.06035$.Тогда кинетическая энергия протона:$K_p = 17.346 \text{ МэВ} \cdot \frac{0.06035}{1-0.06035} = 17.346 \cdot \frac{0.06035}{0.93965} \approx 1.114 \text{ МэВ}$.
Ответ: Кинетическая энергия налетающих протонов составляет примерно 1.11 МэВ.