Номер 11.146, страница 226 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Энергия связи атомных ядер. Ядерные реакции. Энергетический выход ядерных реакций - номер 11.146, страница 226.

Условие.

11.146*. Неподвижное ядро $^7_3\text{Li}$, захватывая протон, распадается на две $\alpha$-частицы. Определите сумму кинетических энергий и скорости этих частиц. Кинетической энергией протона пренебречь.

Решение.

Дано:

Ядерная реакция: ${^{7}_{3}\text{Li}} + {^{1}_{1}\text{p}} \rightarrow 2 \cdot {^{4}_{2}\text{He}}$

Масса ядра лития-7, $m_{^{7}\text{Li}} = 7.016004 \, \text{а.е.м.}$

Масса протона, $m_{p} = 1.007276 \, \text{а.е.м.}$

Масса $\alpha$-частицы, $m_{\alpha} = 4.002603 \, \text{а.е.м.}$

Начальный импульс системы $P_{нач} = 0$ (ядро $^7\text{Li}$ покоится, кинетической энергией протона пренебрегаем).

Перевод в СИ и справочные данные:

Атомная единица массы (а.е.м.): $1 \, \text{а.е.м.} \approx 1.66054 \cdot 10^{-27} \, \text{кг}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \, \text{а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \, \text{МэВ}$

Энергия 1 МэВ в Джоулях: $1 \, \text{МэВ} = 1.602 \cdot 10^{-13} \, \text{Дж}$

Масса $\alpha$-частицы в СИ: $m_{\alpha} = 4.002603 \, \text{а.е.м.} \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \, \text{кг/а.е.м.} \approx 6.6465 \cdot 10^{-27} \, \text{кг}$

Найти:

Суммарную кинетическую энергию $\alpha$-частиц $K_{сум}$

Скорость $\alpha$-частиц $v_{\alpha}$

Решение:

Сумма кинетических энергий этих частиц

Суммарная кинетическая энергия $K_{сум}$ образовавшихся $\alpha$-частиц равна энергии, выделившейся в результате реакции (энергетическому выходу реакции $\text{Q}$). Эта энергия определяется дефектом масс $\Delta m$ согласно формуле Эйнштейна: $K_{сум} = Q = \Delta m \cdot c^2$.

Дефект масс равен разности суммарной массы частиц до реакции и суммарной массы частиц после реакции:

$\Delta m = (m_{^{7}\text{Li}} + m_{p}) - 2 \cdot m_{\alpha}$

Подставляем табличные значения масс в атомных единицах массы (а.е.м.):

$\Delta m = (7.016004 \, \text{а.е.м.} + 1.007276 \, \text{а.е.м.}) - 2 \cdot 4.002603 \, \text{а.е.м.} = 8.023280 \, \text{а.е.м.} - 8.005206 \, \text{а.е.м.} = 0.018074 \, \text{а.е.м.}$

Зная, что 1 а.е.м. эквивалентна $931.5 \, \text{МэВ}$ энергии, находим суммарную кинетическую энергию:

$K_{сум} = \Delta m \cdot 931.5 \, \text{МэВ/а.е.м.} = 0.018074 \cdot 931.5 \approx 16.83 \, \text{МэВ}$

Переведем эту энергию в систему СИ (Джоули):

$K_{сум} = 16.83 \cdot 10^6 \, \text{эВ} \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{Дж/эВ} \approx 2.70 \cdot 10^{-12} \, \text{Дж}$

Ответ: Сумма кинетических энергий $\alpha$-частиц равна $16.83 \, \text{МэВ}$ (или $2.70 \cdot 10^{-12} \, \text{Дж}$).

Скорости этих частиц

Согласно условию, начальный импульс системы равен нулю. По закону сохранения импульса, суммарный импульс двух образовавшихся $\alpha$-частиц также должен быть равен нулю: $\vec{p}_{\alpha1} + \vec{p}_{\alpha2} = 0$.

Это означает, что частицы разлетаются в строго противоположных направлениях с одинаковыми по модулю импульсами: $p_{\alpha1} = p_{\alpha2} = p_{\alpha}$.

Поскольку массы $\alpha$-частиц одинаковы ($m_{\alpha1} = m_{\alpha2} = m_{\alpha}$), то их скорости также будут равны по модулю: $v_{\alpha1} = v_{\alpha2} = v_{\alpha}$.

Суммарная кинетическая энергия $K_{сум}$ равна сумме кинетических энергий двух частиц:

$K_{сум} = \frac{m_{\alpha}v_{\alpha}^2}{2} + \frac{m_{\alpha}v_{\alpha}^2}{2} = m_{\alpha}v_{\alpha}^2$

Отсюда находим модуль скорости $v_{\alpha}$ каждой частицы:

$v_{\alpha} = \sqrt{\frac{K_{сум}}{m_{\alpha}}}$

Подставляем численные значения в СИ:

$v_{\alpha} = \sqrt{\frac{2.70 \cdot 10^{-12} \, \text{Дж}}{6.6465 \cdot 10^{-27} \, \text{кг}}} \approx \sqrt{4.062 \cdot 10^{14} \, \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 2.01 \cdot 10^7 \, \text{м/с}$

Ответ: Скорость каждой $\alpha$-частицы равна $2.01 \cdot 10^7 \, \text{м/с}$.