Номер 11.144, страница 226 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Энергия связи атомных ядер. Ядерные реакции. Энергетический выход ядерных реакций - номер 11.144, страница 226.

Условие.

11.144*. При какой температуре в газообразном дейтерии начнётся термоядерная реакция $^2_1\text{H} + ^2_1\text{H} \rightarrow ^4_2\text{He}$?

Решение.

Для того чтобы в газообразном дейтерии началась термоядерная реакция, ядра дейтерия (дейтроны) должны сблизиться на расстояние, соизмеримое с радиусом действия ядерных сил, преодолев при этом силу электростатического отталкивания (кулоновский барьер). Необходимая для этого кинетическая энергия сообщается ядрам при их тепловом движении. Таким образом, средняя кинетическая энергия теплового движения ядер должна быть равна потенциальной энергии их кулоновского взаимодействия.

Дано:

Реакция: ${}^2_1H + {}^2_1H \rightarrow {}^4_2He$

Заряд ядра дейтерия: $q_1 = q_2 = e = 1.6 \times 10^{-19}$ Кл

Постоянная Больцмана: $k = 1.38 \times 10^{-23}$ Дж/К

Электрическая постоянная: $k_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9$ Н·м²/Кл²

Константа для расчета радиуса ядра: $R_0 = 1.2 \times 10^{-15}$ м

Массовое число дейтерия: $A = 2$

Найти:

Температуру $\text{T}$.

Решение:

Условием начала термоядерной реакции является то, что средняя кинетическая энергия теплового движения сталкивающихся ядер $E_k$ должна быть достаточной для преодоления кулоновского барьера, то есть равной потенциальной энергии $E_p$ их взаимодействия на расстоянии $\text{r}$, при котором начинают действовать ядерные силы.

Средняя кинетическая энергия теплового движения для двух сталкивающихся частиц равна $E_k = 2 \cdot \frac{3}{2}kT = 3kT$. Однако, более строгий подход рассматривает кинетическую энергию их относительного движения, среднее значение которой равно $E_k = \frac{3}{2}kT$. Будем использовать эту величину.

Потенциальная энергия электростатического отталкивания двух ядер с зарядами $q_1$ и $q_2$ на расстоянии $\text{r}$ друг от друга определяется формулой:

$E_p = k_e \frac{q_1 q_2}{r}$

В нашем случае оба ядра — это ядра дейтерия, поэтому $q_1 = q_2 = e$. Расстояние $\text{r}$ — это расстояние, на котором ядра начинают взаимодействовать посредством сильных ядерных сил, оно примерно равно сумме их радиусов, то есть $r = 2R$.

Радиус ядра дейтерия $\text{R}$ можно оценить по формуле:

$R = R_0 A^{1/3}$

Подставим значения для дейтерия ($A=2$):

$R = (1.2 \times 10^{-15} \text{ м}) \cdot 2^{1/3} \approx 1.2 \times 10^{-15} \cdot 1.26 \approx 1.51 \times 10^{-15}$ м

Тогда расстояние сближения ядер:

$r = 2R \approx 2 \cdot 1.51 \times 10^{-15} = 3.02 \times 10^{-15}$ м

Теперь приравняем среднюю кинетическую энергию и потенциальную энергию:

$\frac{3}{2}kT = k_e \frac{e^2}{r}$

Отсюда выразим температуру $\text{T}$:

$T = \frac{2k_e e^2}{3kr}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{2 \cdot (9 \times 10^9 \text{ Н·м²/Кл²}) \cdot (1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл})^2}{3 \cdot (1.38 \times 10^{-23} \text{ Дж/К}) \cdot (3.02 \times 10^{-15} \text{ м})}$

$T = \frac{18 \times 10^9 \cdot 2.56 \times 10^{-38}}{4.14 \times 10^{-23} \cdot 3.02 \times 10^{-15}} = \frac{46.08 \times 10^{-29}}{12.5 \times 10^{-38}} \approx 3.7 \times 10^9$ К

Полученная температура является классической оценкой. В действительности, термоядерные реакции начинаются при более низких температурах (порядка $10^7 - 10^8$ К) благодаря двум эффектам: наличию в газе частиц с энергиями, значительно превышающими среднюю (согласно распределению Максвелла), и квантово-механическому туннельному эффекту, который позволяет частицам преодолевать кулоновский барьер, даже не обладая для этого достаточной классической энергией.

Ответ: $T \approx 3.7 \times 10^9$ К.