Номер 11.150, страница 227 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Энергия связи атомных ядер. Ядерные реакции. Энергетический выход ядерных реакций - номер 11.150, страница 227.

Условие.

11.150**. Ядра дейтерия могут вступать в реакцию: $_1^2 \text{H} + _1^2 \text{H} \to _2^3 \text{He} + _0^1 n$. Какую энергию уносит нейтрон и какую — ядро гелия, если кинетические энергии, которыми обладали частицы до реакции, пренебрежимо малы?

Решение.

Дано:

Ядерная реакция: $_{1}^{2}\text{H} + _{1}^{2}\text{H} \rightarrow _{2}^{3}\text{He} + _{0}^{1}\text{n}$

Масса ядра дейтерия, $m(_{1}^{2}\text{H}) = 2.014102$ а.е.м.

Масса ядра гелия-3, $m(_{2}^{3}\text{He}) = 3.016029$ а.е.м.

Масса нейтрона, $m_n = 1.008665$ а.е.м.

Кинетическая энергия исходных частиц пренебрежимо мала.

1 а.е.м. $= 1.66054 \cdot 10^{-27}$ кг

$c = 3 \cdot 10^8$ м/с

1 эВ $= 1.6 \cdot 10^{-19}$ Дж

Перевод в СИ:

$m(_{1}^{2}\text{H}) = 2.014102 \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 3.3445 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$m(_{2}^{3}\text{He}) = 3.016029 \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 5.0082 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$m_n = 1.008665 \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 1.6749 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Найти:

$E_n$ — кинетическая энергия нейтрона

$E_{He}$ — кинетическая энергия ядра гелия

Решение:

1. В результате ядерной реакции выделяется энергия за счет уменьшения массы покоя. Эта энергия, называемая энергетическим выходом реакции ($\Delta E$), полностью переходит в кинетическую энергию продуктов реакции, поскольку начальные частицы покоились.

Энергетический выход определяется дефектом масс $\Delta m$ по формуле Эйнштейна:

$\Delta E = \Delta m \cdot c^2$

Найдем дефект масс:

$\Delta m = 2 \cdot m(_{1}^{2}\text{H}) - (m(_{2}^{3}\text{He}) + m_n)$

$\Delta m = 2 \cdot 2.014102 \text{ а.е.м.} - (3.016029 \text{ а.е.м.} + 1.008665 \text{ а.е.м.})$

$\Delta m = 4.028204 \text{ а.е.м.} - 4.024694 \text{ а.е.м.} = 0.00351 \text{ а.е.м.}$

В ядерной физике удобно вычислять энергию в мегаэлектронвольтах (МэВ), используя соотношение 1 а.е.м. $\cdot c^2 = 931.5$ МэВ.

$\Delta E = 0.00351 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 3.27 \text{ МэВ}$

Эта энергия распределяется между продуктами реакции:

$E_n + E_{He} = \Delta E \approx 3.27 \text{ МэВ}$

2. Чтобы найти энергию каждой частицы по отдельности, применим закон сохранения импульса. Так как начальные ядра дейтерия покоились, их суммарный импульс был равен нулю. Следовательно, суммарный импульс продуктов реакции (нейтрона и ядра гелия) также равен нулю:

$\vec{p}_n + \vec{p}_{He} = 0$

Это означает, что векторы импульсов частиц направлены в противоположные стороны, а их модули равны:

$p_n = p_{He}$

Кинетическая энергия $E_k$ связана с импульсом $\text{p}$ и массой $\text{m}$ соотношением $E_k = \frac{p^2}{2m}$, откуда $p^2 = 2mE_k$.

Так как $p_n^2 = p_{He}^2$, то:

$2m_n E_n = 2m_{He} E_{He}$

Из этого следует, что кинетические энергии обратно пропорциональны массам частиц:

$\frac{E_n}{E_{He}} = \frac{m_{He}}{m_n}$

Массы частиц можно с хорошей точностью считать пропорциональными их массовым числам ($\text{A}$): $m_n \approx 1$ а.е.м., $m_{He} \approx 3$ а.е.м.

$\frac{E_n}{E_{He}} \approx \frac{3}{1} = 3$, то есть $E_n \approx 3E_{He}$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для нахождения $E_n$ и $E_{He}$.

Энергия, которую уносит нейтрон

Используем систему уравнений:

$E_n + E_{He} = 3.27 \text{ МэВ}$

$E_n = 3E_{He}$

Подставим второе уравнение в первое:

$3E_{He} + E_{He} = 3.27 \text{ МэВ} \implies 4E_{He} = 3.27 \text{ МэВ}$

Отсюда находим $E_n$:

$E_n = \frac{3}{4} \Delta E = \frac{3}{4} \cdot 3.27 \text{ МэВ} \approx 2.45 \text{ МэВ}$

Ответ: Энергия, которую уносит нейтрон, составляет примерно $2.45 \text{ МэВ}$.

Энергия, которую уносит ядро гелия

Зная полную энергию и энергию нейтрона, находим энергию ядра гелия:

$E_{He} = \Delta E - E_n = 3.27 \text{ МэВ} - 2.45 \text{ МэВ} = 0.82 \text{ МэВ}$

Также можно найти $E_{He}$ из системы:

$E_{He} = \frac{1}{4} \Delta E = \frac{1}{4} \cdot 3.27 \text{ МэВ} \approx 0.82 \text{ МэВ}$

Ответ: Энергия, которую уносит ядро гелия, составляет примерно $0.82 \text{ МэВ}$.