Номер 11.94, страница 221 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.94, страница 221.

Условие.

11.94* Известно, что 1 г радия за 1 с даёт $3,7 \cdot 10^{10}$ ядер гелия. Каково будет давление гелия, образующегося в герметичной ампуле объёмом $1 \text{ см}^3$, в которой в течение года находилось 100 мг радия? Температура ампулы 15 °С.

Решение.

Дано:

Активность 1 г радия ($A_{1г}$) = $3,7 \cdot 10^{10}$ ядер/с

Масса радия ($\text{m}$) = 100 мг

Объем ампулы ($\text{V}$) = 1 см³

Время ($\text{t}$) = 1 год

Температура Цельсия ($T_C$) = 15 °C

Перевод в систему СИ:

$m = 100 \text{ мг} = 0,1 \text{ г}$

$V = 1 \text{ см}^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$

$t = 1 \text{ год} = 365 \text{ суток} \cdot 24 \frac{\text{ч}}{\text{сутки}} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} = 31536000 \text{ с} \approx 3,15 \cdot 10^7 \text{ с}$

$T = T_C + 273,15 = 15 + 273,15 = 288,15 \text{ К}$

Найти:

Давление гелия $\text{p}$.

Решение:

1. Сначала рассчитаем количество ядер гелия ($\text{N}$), которое образуется в ампуле за год. Активность радиоактивного распада пропорциональна массе вещества. Активность для 100 мг (0,1 г) радия составляет:

$A = 0,1 \text{ г} \cdot (3,7 \cdot 10^{10} \frac{\text{ядер}}{\text{г} \cdot \text{с}}) = 3,7 \cdot 10^9 \frac{\text{ядер}}{\text{с}}$

Период полураспада радия-226 составляет около 1600 лет. Так как 1 год — это очень малая часть периода полураспада, можно считать массу радия и его активность постоянными в течение этого времени. Тогда общее число образовавшихся ядер гелия (альфа-частиц) за год равно:

$N = A \cdot t = (3,7 \cdot 10^9 \text{ с}^{-1}) \cdot (3,15 \cdot 10^7 \text{ с}) \approx 1,1655 \cdot 10^{17}$

Каждое ядро гелия, захватив два электрона из окружающей среды, становится нейтральным атомом гелия. Таким образом, количество атомов гелия в ампуле равно $\text{N}$.

2. Давление гелия, который можно считать идеальным газом, найдем из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона), записанного через постоянную Больцмана ($k_B \approx 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К):

$pV = N k_B T$

Отсюда выражаем давление $\text{p}$:

$p = \frac{N k_B T}{V}$

3. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$p = \frac{(1,1655 \cdot 10^{17}) \cdot (1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}) \cdot (288,15 \text{ К})}{10^{-6} \text{ м}^3} \approx 463 \text{ Па}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные (активность $3,7 \cdot 10^{10}$ и температура 15 °C) имеют две значащие цифры.

Ответ: $p \approx 460 \text{ Па}$ или $4,6 \cdot 10^2 \text{ Па}$.