Номер 11.92, страница 221 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.92, страница 221.

Условие.

11.92* В сосуде объёмом 1 дм³ находится 1 г трития при температуре 27 °С. За 12 лет половина ядер трития превращается в ядра гелия. Найдите давление в сосуде в конце этого срока.

Решение.

Дано:

$V = 1 \text{ дм}^3$
$m_0 = 1 \text{ г}$ (начальная масса трития)
$t = 27 \text{ °С}$
$\Delta t = 12 \text{ лет}$
$T_{1/2} = 12 \text{ лет}$ (период полураспада трития)
$M_T \approx 3 \text{ г/моль}$ (молярная масса трития ${^3_1}H$)
$M_{He} \approx 3 \text{ г/моль}$ (молярная масса гелия-3 ${^3_2}He$)
$R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}$ (универсальная газовая постоянная)

Перевод в систему СИ:
$V = 1 \text{ дм}^3 = 10^{-3} \text{ м}^3$
$m_0 = 1 \text{ г} = 10^{-3} \text{ кг}$
$T = 27 + 273 = 300 \text{ К}$
$M_T = 3 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

$p_{final}$ - давление в сосуде в конце срока.

Решение:

Тритий (${^3_1}H$) является радиоактивным изотопом водорода и претерпевает бета-распад, превращаясь в изотоп гелия-3 (${^3_2}He$). Уравнение реакции выглядит следующим образом:

$$ {_1^3}H \rightarrow {_2^3}He + e^- + \bar{\nu}_e $$

Из уравнения видно, что из одного атома трития образуется один атом гелия. Это означает, что количество вещества (число молей) газа в ходе реакции не меняется, так как один моль атомов трития превращается в один моль атомов гелия. Электроны ($e^-$) и антинейтрино ($\bar{\nu}_e$) не вносят заметного вклада в давление газа.

Найдем начальное количество вещества трития в сосуде по формуле:

$$ \nu_0 = \frac{m_0}{M_T} $$

Через 12 лет, что равно одному периоду полураспада, половина исходных ядер трития распадется. Количество вещества трития станет:

$$ \nu_T = \frac{\nu_0}{2} $$

Количество вещества образовавшегося гелия будет равно количеству вещества распавшегося трития:

$$ \nu_{He} = \nu_0 - \nu_T = \nu_0 - \frac{\nu_0}{2} = \frac{\nu_0}{2} $$

Суммарное количество вещества газа в сосуде через 12 лет будет равно сумме количеств оставшегося трития и образовавшегося гелия:

$$ \nu_{final} = \nu_T + \nu_{He} = \frac{\nu_0}{2} + \frac{\nu_0}{2} = \nu_0 $$

Таким образом, общее количество вещества газа в сосуде не изменилось. Давление идеального газа определяется уравнением состояния (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$$ pV = \nu R T $$

Поскольку объем сосуда $\text{V}$, температура $\text{T}$ и общее количество вещества газа $\nu$ остаются постоянными, конечное давление $p_{final}$ будет равно начальному давлению $p_0$.

Рассчитаем это давление:

$$ p_{final} = p_0 = \frac{\nu_0 R T}{V} = \frac{m_0 R T}{M_T V} $$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$$ p_{final} = \frac{10^{-3} \text{ кг} \times 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}} \times 300 \text{ К}}{3 \times 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \times 10^{-3} \text{ м}^3} = \frac{8.31 \times 300}{3 \times 10^{-3}} \text{ Па} = \frac{8.31 \times 100}{10^{-3}} \text{ Па} = 831 \times 10^3 \text{ Па} = 8.31 \times 10^5 \text{ Па} $$

Ответ: $8.31 \times 10^5 \text{ Па}$ или $0.831 \text{ МПа}$.