Номер 11.90, страница 221 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.90, страница 221.

Условие.

11.90*. Имеются $25 \cdot 10^6$ атомов радия. Со сколькими из них произойдёт радиоактивный распад за 1 сут, если период полураспада радия 1620 лет?

Решение.

Дано:

Начальное количество атомов радия $N_0 = 25 \cdot 10^6$.

Время наблюдения $t = 1 \text{ сут}$.

Период полураспада радия $T_{1/2} = 1620 \text{ лет}$.

Перевод в систему СИ:

$t = 1 \text{ сут} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$.

$T_{1/2} = 1620 \text{ лет} \approx 1620 \cdot 365.25 \text{ сут/год} \cdot 86400 \text{ с/сут} \approx 5.11 \cdot 10^{10} \text{ с}$.

Найти:

Число распавшихся атомов $\Delta N$.

Решение:

Закон радиоактивного распада определяет число нераспавшихся атомов $\text{N}$ в момент времени $\text{t}$:

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

где $N_0$ — начальное число атомов, а $\lambda$ — постоянная распада.

Число распавшихся за время $\text{t}$ атомов равно разности между начальным числом атомов и числом оставшихся атомов:

$\Delta N = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 e^{-\lambda t} = N_0 (1 - e^{-\lambda t})$

Постоянная распада $\lambda$ связана с периодом полураспада $T_{1/2}$ формулой:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Так как время наблюдения $\text{t}$ (1 сутки) намного меньше периода полураспада $T_{1/2}$ (1620 лет), то произведение $\lambda t$ очень мало $(\lambda t \ll 1)$. В этом случае можно воспользоваться приближением для экспоненты при малых значениях аргумента: $e^{-x} \approx 1 - x$.

Тогда формула для числа распавшихся атомов упрощается:

$\Delta N \approx N_0 (1 - (1 - \lambda t)) = N_0 \lambda t$

Подставим выражение для $\lambda$:

$\Delta N \approx N_0 \frac{\ln 2}{T_{1/2}} t$

Для удобства расчетов, выразим все величины времени в одних единицах, например, в сутках. Это позволит избежать работы с очень большими и очень маленькими числами.

$t = 1 \text{ сут}$

$T_{1/2} = 1620 \text{ лет} \times 365.25 \frac{\text{сут}}{\text{год}} = 591705 \text{ сут}$

Теперь выполним вычисления, подставив значения в формулу:

$\Delta N \approx 25 \cdot 10^6 \cdot \frac{\ln 2}{591705 \text{ сут}} \cdot 1 \text{ сут}$

Используя значение $\ln 2 \approx 0.693147$, получим:

$\Delta N \approx 25 \cdot 10^6 \cdot \frac{0.693147}{591705} \approx 25 \cdot 10^6 \cdot 1.1714 \cdot 10^{-6} \approx 29.285$

Число атомов — целая величина, поэтому полученный результат следует округлить до ближайшего целого числа.

Ответ: за 1 сутки произойдет радиоактивный распад примерно с 29 атомами радия.