Номер 11.91, страница 221 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.91, страница 221.

Условие.

11.91*. Через сколько времени распадается 80% атомов радиоактивного изотопа хрома $_{24}^{51}\text{Cr}$, если его период полураспада 27,8 сут?

Решение.

Дано

Доля распавшихся атомов: $k = 80\% = 0.8$

Изотоп: $_{24}^{51}Cr$

Период полураспада: $T_{1/2} = 27.8 \text{ сут}$

Перевод в СИ:

$T_{1/2} = 27.8 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 2401920 \text{ с}$

Найти:

Время $\text{t}$

Решение

Закон радиоактивного распада описывает количество нераспавшихся ядер $\text{N}$ в момент времени $\text{t}$ по формуле:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

где $N_0$ — начальное количество ядер, а $T_{1/2}$ — период полураспада.

По условию задачи, распалось 80% атомов. Это значит, что количество оставшихся (нераспавшихся) атомов $N(t)$ составляет $100\% - 80\% = 20\%$ от первоначального количества $N_0$.

$N(t) = (1 - 0.8) \cdot N_0 = 0.2 \cdot N_0$

Подставим это соотношение в закон радиоактивного распада:

$0.2 \cdot N_0 = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Сократим $N_0$ в обеих частях уравнения:

$0.2 = 2^{-t/T_{1/2}}$

Для нахождения времени $\text{t}$ прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2 (или воспользуемся натуральными логарифмами).

$\log_2(0.2) = \log_2(2^{-t/T_{1/2}})$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем:

$\log_2(0.2) = -t/T_{1/2}$

Выразим отсюда время $\text{t}$:

$t = -T_{1/2} \cdot \log_2(0.2)$

Поскольку $0.2 = 1/5$, а $\log_2(1/5) = -\log_2(5)$, то:

$t = T_{1/2} \cdot \log_2(5)$

Для вычисления $\log_2(5)$ воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма (например, к натуральному логарифму $\text{ln}$):

$\log_2(5) = \frac{\ln(5)}{\ln(2)} \approx \frac{1.6094}{0.6931} \approx 2.3219$

Теперь подставим числовые значения в формулу для $\text{t}$. Расчет удобнее провести в сутках, так как период полураспада дан в этих единицах.

$t \approx 27.8 \text{ сут} \cdot 2.3219 \approx 64.549 \text{ сут}$

Округлим результат до трех значащих цифр, как и в исходных данных:

$t \approx 64.5 \text{ сут}$

Ответ: время, через которое распадется 80% атомов хрома-51, составляет примерно 64,5 суток.