Номер 11.96, страница 221 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.96, страница 221.

Условие.

11.96*. В микрокалориметр с теплоёмкостью 100 Дж/К помещён 1 мг изотопа кремния (${}^{31}\text{Si}$). При распаде ядра ${}^{31}\text{Si}$ выделяется энергия $4,4 \cdot 10^{-19}$ Дж. Период полураспада изотопа кремния 2 ч 36 мин. На сколько повысится температура калориметра через 52 мин после начала опыта?

Решение.

Дано:

$C = 100 \text{ Дж/К}$

$m = 1 \text{ мг} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

$E_1 = 4,4 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

$T_{1/2} = 2 \text{ ч } 36 \text{ мин} = 156 \text{ мин} = 9360 \text{ с}$

$t = 52 \text{ мин} = 3120 \text{ с}$

Молярная масса изотопа кремния $^{31}\text{Si}$: $M \approx 31 \text{ г/моль} = 0,031 \text{ кг/моль}$

Постоянная Авогадро: $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

$\Delta T$

Решение:

1. Найдем начальное количество ядер изотопа кремния ($N_0$) в образце массой $\text{m}$:

$N_0 = \frac{m}{M} N_A$

$N_0 = \frac{1 \cdot 10^{-6} \text{ кг}}{0,031 \text{ кг/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 1,94 \cdot 10^{19} \text{ ядер}$

2. Определим количество ядер ($\Delta N$), распавшихся за время $\text{t}$. Согласно закону радиоактивного распада, количество нераспавшихся ядер $N(t)$ в момент времени $\text{t}$ равно:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Тогда количество распавшихся ядер:

$\Delta N = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}} = N_0(1 - 2^{-t/T_{1/2}})$

Подставим значения времени $\text{t}$ и периода полураспада $T_{1/2}$:

$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{52 \text{ мин}}{156 \text{ мин}} = \frac{1}{3}$

$\Delta N = 1,94 \cdot 10^{19} \cdot (1 - 2^{-1/3}) = 1,94 \cdot 10^{19} \cdot (1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}) \approx 1,94 \cdot 10^{19} \cdot (1 - 0,7937) \approx 1,94 \cdot 10^{19} \cdot 0,2063 \approx 4,00 \cdot 10^{18} \text{ ядер}$

3. Вычислим общую энергию ($\text{Q}$), выделившуюся при распаде этих ядер. Эта энергия полностью поглощается калориметром.

$Q = \Delta N \cdot E_1$

$Q \approx 4,00 \cdot 10^{18} \cdot 4,4 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 1,76 \text{ Дж}$

4. Найдем, на сколько повысится температура калориметра ($\Delta T$), зная его теплоемкость $\text{C}$ и поглощенную энергию $\text{Q}$:

$Q = C \cdot \Delta T$

$\Delta T = \frac{Q}{C}$

$\Delta T = \frac{1,76 \text{ Дж}}{100 \text{ Дж/К}} = 0,0176 \text{ К}$

Ответ: Температура калориметра повысится на $0,0176 \text{ К}$.