Номер 11.95, страница 221 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.95, страница 221.

Условие.

11.95*. При определении периода полураспада радиоактивного изотопа использовался счётчик импульсов. За 1 мин в начале наблюдения было насчитано 250 импульсов, а через время $ \tau = 1 \text{ ч} $ было зарегистрировано 92 импульса. Чему равен период полураспада данного изотопа?

Решение.

Дано:

Начальная скорость счета (в начале наблюдения): $I_0 = 250$ импульсов/мин

Скорость счета через время $τ$: $I = 92$ импульса/мин

Прошедшее время: $τ = 1$ ч

Перевод в систему СИ:

$τ = 1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Период полураспада $\text{T}$

Решение:

Количество импульсов, регистрируемых счетчиком за единицу времени (скорость счета), пропорционально активности радиоактивного изотопа. Активность, в свою очередь, прямо пропорциональна количеству нераспавшихся радиоактивных ядер.

Закон радиоактивного распада гласит, что число нераспавшихся ядер $\text{N}$ изменяется со временем $\text{t}$ по экспоненциальному закону:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

где $N_0$ — начальное число ядер, а $\text{T}$ — период полураспада.

Поскольку скорость счета $\text{I}$ пропорциональна числу ядер $\text{N}$, для нее можно записать аналогичную формулу:

$I(t) = I_0 \cdot 2^{-t/T}$

В условиях задачи, время наблюдения $t = τ = 1$ ч, начальная скорость счета $I_0 = 250$ имп/мин, а конечная скорость счета $I(τ) = 92$ имп/мин. Подставим эти значения в уравнение:

$92 = 250 \cdot 2^{-τ/T}$

Для того чтобы найти $\text{T}$, выразим сначала экспоненциальный член:

$\frac{92}{250} = 2^{-τ/T}$

$0.368 = 2^{-τ/T}$

Теперь прологарифмируем обе части уравнения. Удобно использовать натуральный логарифм (ln):

$\ln(0.368) = \ln(2^{-τ/T})$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, получим:

$\ln(0.368) = -\frac{τ}{T} \cdot \ln(2)$

Выразим отсюда период полураспада $\text{T}$:

$T = -\frac{τ \cdot \ln(2)}{\ln(0.368)}$

Подставим числовые значения. Для удобства можно оставить время $τ$ в часах, тогда и результат для $\text{T}$ будет выражен в часах.

$T = -\frac{1 \text{ ч} \cdot \ln(2)}{\ln(0.368)} \approx -\frac{1 \text{ ч} \cdot 0.6931}{-0.9997} \approx 0.6933 \text{ ч}$

Переведем полученное значение в минуты, умножив на 60:

$T \approx 0.6933 \cdot 60 \text{ мин} \approx 41.6 \text{ мин}$

Ответ: период полураспада данного изотопа равен приблизительно 41.6 минут.