Номер 11.93, страница 221 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.93, страница 221.

Условие.

11.93*. Известно, что из радиоактивного полония $ {}^{210}_{84}\text{Po} $ массой 2,5 г за 32 дня в результате распада образуется гелий объемом 40 $ \text{см}^3 $ при нормальных условиях. Определите по этим данным период полураспада данного изотопа полония.

Решение.

Дано:

Изотоп: $_{84}^{210}\text{Po}$

Начальная масса полония, $m_0 = 2,5 \text{ г}$

Время распада, $t = 32 \text{ дня}$

Объем образовавшегося гелия, $V_{\text{He}} = 40 \text{ см}^3$

Условия: нормальные (н.у.)

Молярная масса полония-210, $M_{\text{Po}} \approx 210 \text{ г/моль}$

Молярный объем газа при н.у., $V_m = 22,4 \text{ л/моль}$

Число Авогадро, $N_A = 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

$m_0 = 2,5 \times 10^{-3} \text{ кг}$

$t = 32 \times 24 \times 3600 = 2764800 \text{ с}$

$V_{\text{He}} = 40 \text{ см}^3 = 40 \times 10^{-6} \text{ м}^3 = 4 \times 10^{-5} \text{ м}^3$

$M_{\text{Po}} = 0,21 \text{ кг/моль}$

$V_m = 22,4 \times 10^{-3} \text{ м}^3/\text{моль}$

Найти:

Период полураспада, $T_{1/2}$ — ?

Решение:

Реакция альфа-распада изотопа полония-210 имеет вид:

$_{84}^{210}\text{Po} \rightarrow _{82}^{206}\text{Pb} + _{2}^{4}\text{He}$

Из уравнения реакции видно, что распад одного атома полония приводит к образованию одного атома гелия (альфа-частицы). Таким образом, число распавшихся атомов полония $\Delta N_{\text{Po}}$ равно числу образовавшихся атомов гелия $N_{\text{He}}$.

Определим начальное число атомов полония $N_0$ в образце:

$N_0 = \frac{m_0}{M_{\text{Po}}} N_A$

Определим число атомов гелия $N_{\text{He}}$, образовавшихся за время $\text{t}$. Для этого найдем количество вещества гелия $\nu_{\text{He}}$, используя его объем при нормальных условиях:

$\nu_{\text{He}} = \frac{V_{\text{He}}}{V_m}$

Тогда число атомов гелия:

$N_{\text{He}} = \nu_{\text{He}} N_A = \frac{V_{\text{He}}}{V_m} N_A$

Закон радиоактивного распада связывает число нераспавшихся атомов $\text{N}$ с начальным числом атомов $N_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$:

$N = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Число нераспавшихся атомов $\text{N}$ можно выразить как разность между начальным числом атомов и числом распавшихся атомов:

$N = N_0 - \Delta N_{\text{Po}} = N_0 - N_{\text{He}}$

Подставим это выражение в закон распада:

$N_0 - N_{\text{He}} = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Разделим обе части уравнения на $N_0$:

$1 - \frac{N_{\text{He}}}{N_0} = 2^{-t/T_{1/2}}$

Найдем отношение $\frac{N_{\text{He}}}{N_0}$:

$\frac{N_{\text{He}}}{N_0} = \frac{\frac{V_{\text{He}}}{V_m} N_A}{\frac{m_0}{M_{\text{Po}}} N_A} = \frac{V_{\text{He}} \cdot M_{\text{Po}}}{V_m \cdot m_0}$

Подставим числовые значения, используя удобные единицы измерения (литры и граммы, так как они сократятся):

$V_{\text{He}} = 40 \text{ см}^3 = 0,040 \text{ л}$

$\frac{N_{\text{He}}}{N_0} = \frac{0,040 \text{ л} \cdot 210 \text{ г/моль}}{22,4 \text{ л/моль} \cdot 2,5 \text{ г}} = \frac{8,4}{56} = 0,15$

Теперь подставим найденное значение в уравнение:

$1 - 0,15 = 2^{-t/T_{1/2}}$

$0,85 = 2^{-32/T_{1/2}}$

Чтобы найти $T_{1/2}$, прологарифмируем обе части уравнения, например, по основанию 2:

$\log_2(0,85) = -\frac{32}{T_{1/2}}$

Отсюда выразим $T_{1/2}$:

$T_{1/2} = -\frac{32}{\log_2(0,85)}$

Используем формулу перехода к натуральному логарифму $\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$:

$T_{1/2} = -\frac{32 \cdot \ln(2)}{\ln(0,85)}$

Подставим значения логарифмов ($\ln(2) \approx 0,6931$, $\ln(0,85) \approx -0,1625$):

$T_{1/2} \approx -\frac{32 \cdot 0,6931}{-0,1625} \approx 136,5 \text{ дней}$

Округляя результат с учетом точности исходных данных (две значащие цифры), получаем:

$T_{1/2} \approx 140 \text{ дней}$

Ответ: Период полураспада данного изотопа полония составляет примерно 137 дней (более точный расчет дает 136,5 дней, что при округлении до двух значащих цифр, как в условии, составляет 140 дней; известный период полураспада $^{210}\text{Po}$ — 138 дней, что подтверждает правильность расчетов).