Номер 11.87, страница 221 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.87, страница 221.

Условие.

11.87*. За время 100 с распалась половина ядер радиоактивного изотопа. Через какое время после этого распадётся $\frac{3}{4}$ оставшихся ядер?

Решение.

Дано:

$t_1 = 100$ с

За время $t_1$ распалась половина ($1/2$) начального числа ядер.

После этого за искомое время $\Delta t$ должно распасться $3/4$ от оставшегося числа ядер.

Найти:

$\Delta t$

Решение:

Время, за которое распадается половина исходного количества радиоактивных ядер, называется периодом полураспада $T_{1/2}$.

Из условия задачи следует, что за время $t_1 = 100$ с распалась половина ядер. Следовательно, период полураспада для данного изотопа составляет $T_{1/2} = 100$ с.

Закон радиоактивного распада связывает число нераспавшихся ядер $\text{N}$ в момент времени $\text{t}$ с начальным числом ядер $N_{start}$ и периодом полураспада $T_{1/2}$:

$N(t) = N_{start} \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Пусть начальное количество ядер было $N_0$. Через время $t_1 = 100$ с, количество оставшихся ядер стало $N_1 = N_0/2$.

Далее, нам нужно найти время $\Delta t$, в течение которого распадётся $3/4$ от этого оставшегося количества ядер $N_1$. Это означает, что по истечении времени $\Delta t$ количество нераспавшихся ядер $N_2$ составит:

$N_2 = N_1 - \frac{3}{4}N_1 = \frac{1}{4}N_1$

Теперь мы можем применить закон радиоактивного распада для второго промежутка времени. Начальным количеством ядер для этого промежутка будет $N_1$, а конечным — $N_2$. Искомое время — $\Delta t$.

$N_2 = N_1 \cdot 2^{-\Delta t/T_{1/2}}$

Подставим в это уравнение выражение для $N_2$ через $N_1$:

$\frac{1}{4}N_1 = N_1 \cdot 2^{-\Delta t/T_{1/2}}$

Сократим $N_1$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{4} = 2^{-\Delta t/T_{1/2}}$

Представим $\frac{1}{4}$ как степень двойки: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

$2^{-2} = 2^{-\Delta t/T_{1/2}}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-2 = -\frac{\Delta t}{T_{1/2}}$

Отсюда находим $\Delta t$:

$\Delta t = 2 \cdot T_{1/2}$

Подставим известное значение периода полураспада $T_{1/2} = 100$ с:

$\Delta t = 2 \cdot 100 \text{ с} = 200 \text{ с}$

Ответ: 200 с.