Номер 11.88, страница 221 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.88, страница 221.

Условие.

11.88*. В герметичный контейнер ёмкостью 1 л поместили 40 мг полония $_{84}^{210}\text{Po}$, ядра которого испытывают $\alpha$-распад с периодом полураспада 140 дней. Определите:

а) массу полония, который останется в контейнере через 420 дней;

б) давление гелия, образовавшегося за 420 дней при температуре $27\text{ }^{\circ}\text{C}$.

Решение.

Дано:

Объем контейнера $V = 1$ л

Начальная масса полония $^{210}_{84}\text{Po}$ $m_0 = 40$ мг

Период полураспада $T_{1/2} = 140$ дней

Время $t = 420$ дней

Температура $T = 27$ °C

Молярная масса полония-210 $M_{Po} \approx 210$ г/моль

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Перевод в систему СИ:

$V = 1 \text{ л} = 1 \cdot 10^{-3}$ м$^3$

$m_0 = 40 \text{ мг} = 40 \cdot 10^{-6}$ кг $= 4 \cdot 10^{-5}$ кг

$T = 27 \text{ °C} = 27 + 273 = 300$ К

$M_{Po} = 210 \text{ г/моль} = 0,210$ кг/моль

Найти:

а) $m(t)$ - массу полония через 420 дней

б) $p_{He}$ - давление гелия через 420 дней

Решение:

а) массу полония, который останется в контейнере через 420 дней

Масса радиоактивного вещества, оставшегося через время $\text{t}$, определяется законом радиоактивного распада:

$m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

где $m_0$ - начальная масса, $\text{t}$ - прошедшее время, $T_{1/2}$ - период полураспада.

Вычислим, сколько периодов полураспада прошло за 420 дней:

$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{420 \text{ дней}}{140 \text{ дней}} = 3$

Подставим значения в формулу:

$m(t) = 40 \text{ мг} \cdot 2^{-3} = 40 \text{ мг} \cdot \frac{1}{8} = 5$ мг

Ответ: 5 мг.

б) давление гелия, образовавшегося за 420 дней при температуре 27 °C

При $\alpha$-распаде ядро полония-210 превращается в ядро свинца-206 с испусканием $\alpha$-частицы (ядра гелия $^{4}_{2}\text{He}$):

$^{210}_{84}\text{Po} \rightarrow ^{206}_{82}\text{Pb} + ^{4}_{2}\text{He}$

Каждый распавшийся атом полония образует один атом гелия. Следовательно, количество вещества (число молей) образовавшегося гелия $\nu_{He}$ равно количеству вещества распавшегося полония $\Delta\nu_{Po}$.

Сначала найдем массу распавшегося полония:

$\Delta m_{Po} = m_0 - m(t) = 40 \text{ мг} - 5 \text{ мг} = 35$ мг $= 35 \cdot 10^{-6}$ кг

Теперь найдем количество вещества распавшегося полония, которое равно количеству вещества образовавшегося гелия:

$\nu_{He} = \Delta\nu_{Po} = \frac{\Delta m_{Po}}{M_{Po}} = \frac{35 \cdot 10^{-6} \text{ кг}}{0,210 \text{ кг/моль}} \approx 1,667 \cdot 10^{-7}$ моль

Давление гелия, который будем считать идеальным газом, можно найти из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$p_{He} V = \nu_{He} R T$

Выразим давление:

$p_{He} = \frac{\nu_{He} R T}{V}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$p_{He} = \frac{1,667 \cdot 10^{-7} \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}}{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3} \approx 0,416$ Па

Ответ: $\approx 0,416$ Па.