Номер 11.84, страница 220 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.84, страница 220.

Условие.

11.84*. Чему равен период полураспада изотопа, если за сутки распадается в среднем 7500 атомов из 10 000?

Решение.

Дано:

Начальное количество атомов $N_0 = 10000$.
Количество распавшихся атомов $\Delta N = 7500$.
Время $t = 1$ сутки.

$t = 1 \text{ сутки} = 24 \text{ часа} = 86400 \text{ с}$.

Найти:

Период полураспада $T_{1/2}$.

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает количество нераспавшихся атомов $\text{N}$ с начальным количеством атомов $N_0$ через время $\text{t}$ и период полураспада $T_{1/2}$ следующей формулой:
$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Сначала определим, сколько атомов осталось нераспавшимися по прошествии суток. Для этого вычтем из начального количества атомов количество распавшихся:
$N = N_0 - \Delta N = 10000 - 7500 = 2500$ атомов.

Теперь подставим известные значения в закон радиоактивного распада:
$2500 = 10000 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Разделим обе части уравнения на $10000$, чтобы найти долю оставшихся атомов:
$\frac{2500}{10000} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$
$\frac{1}{4} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Представим дробь $\frac{1}{4}$ в виде степени с основанием 2:
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь наше уравнение выглядит так:
$2^{-2} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$-2 = -\frac{t}{T_{1/2}}$
$2 = \frac{t}{T_{1/2}}$

Из этого соотношения выразим период полураспада $T_{1/2}$:
$T_{1/2} = \frac{t}{2}$

Подставим значение времени $t = 1$ сутки:
$T_{1/2} = \frac{1 \text{ сутки}}{2} = 0.5 \text{ суток}$

Переведем результат в часы для большей наглядности: $0.5 \text{ суток} = 12 \text{ часов}$.

Ответ: период полураспада изотопа равен 0,5 суток (или 12 часов).