Номер 11.78, страница 219 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.78, страница 219.

Условие.

11.78. Период полураспада некоторого изотопа равен $\text{T}$. Образец изначально содержит большое число ядер этого изотопа. Через какое время число ядер этого изотопа в образце уменьшится в 4 раза?

Решение.

Дано:

Период полураспада: $\text{T}$
Начальное число ядер: $N_0$
Конечное число ядер: $N = \frac{N_0}{4}$

Найти:

Время $\text{t}$

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает, как со временем уменьшается число нераспавшихся ядер радиоактивного изотопа. Формула закона имеет вид:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

где $N(t)$ – число нераспавшихся ядер в момент времени $\text{t}$, $N_0$ – начальное число ядер, а $\text{T}$ – период полураспада.

Согласно условию задачи, число ядер в образце должно уменьшиться в 4 раза, то есть конечное число ядер $N(t)$ будет равно $\frac{N_0}{4}$.

$N(t) = \frac{N_0}{4}$

Подставим это значение в формулу закона радиоактивного распада:

$\frac{N_0}{4} = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

Разделим обе части уравнения на $N_0$ (так как $N_0 > 0$):

$\frac{1}{4} = 2^{-\frac{t}{T}}$

Чтобы решить это уравнение, представим $\frac{1}{4}$ как степень с основанием 2:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь уравнение выглядит так:

$2^{-2} = 2^{-\frac{t}{T}}$

Поскольку основания степеней одинаковы, мы можем приравнять их показатели:

$-2 = -\frac{t}{T}$

Умножим обе части на $-T$, чтобы найти $\text{t}$:

$t = 2T$

Другой способ рассуждения: период полураспада $\text{T}$ — это время, за которое число ядер уменьшается в 2 раза. Чтобы число ядер уменьшилось в 4 раза ($4 = 2 \cdot 2$), должно пройти два таких периода:

1. Через время $\text{T}$ останется $\frac{1}{2}$ от начального числа ядер.

2. Еще через время $\text{T}$ (общее время $\text{2T}$) останется $\frac{1}{2}$ от того, что было, то есть $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ от начального числа ядер.

Таким образом, для уменьшения числа ядер в 4 раза потребуется время, равное двум периодам полураспада.

Ответ: время, через которое число ядер изотопа уменьшится в 4 раза, равно $\text{2T}$.