Номер 11.85, страница 220 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.85, страница 220.

Условие.

11.85*. Какая доля исходного большого числа радиоактивных ядер распадается за время, равное половине периода полураспада?

Решение.

Дано:

$t = \frac{T_{1/2}}{2}$, где $\text{t}$ - время, $T_{1/2}$ - период полураспада.

Найти:

$\frac{\Delta N}{N_0}$ - долю распавшихся ядер.

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает число нераспавшихся ядер $\text{N}$ в момент времени $\text{t}$ с начальным числом ядер $N_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Подставим в эту формулу время, указанное в условии задачи, $t = \frac{T_{1/2}}{2}$, чтобы найти долю оставшихся (нераспавшихся) ядер:

$N(\frac{T_{1/2}}{2}) = N_0 \cdot 2^{-\frac{T_{1/2}/2}{T_{1/2}}} = N_0 \cdot 2^{-1/2} = \frac{N_0}{\sqrt{2}}$

Количество распавшихся ядер $\Delta N$ равно разности между исходным количеством ядер $N_0$ и количеством нераспавшихся ядер $N(t)$:

$\Delta N = N_0 - N(t) = N_0 - \frac{N_0}{\sqrt{2}} = N_0 (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$

Чтобы найти долю распавшихся ядер, разделим их количество $\Delta N$ на исходное количество $N_0$:

$\frac{\Delta N}{N_0} = \frac{N_0 (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}{N_0} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Вычислим приближенное значение этой доли:

$\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 1 - \frac{1}{1.4142} \approx 1 - 0.7071 = 0.2929$

Это означает, что за половину периода полураспада распадается примерно 29.3% от исходного числа радиоактивных ядер.

Ответ: Доля распавшихся ядер составляет $1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.293$.