Номер 11.89, страница 221 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.89, страница 221.

Условие.

11.89*. Период полураспада изотопа иода $^{131}_{53}\text{I}$ составляет 8 сут. Через какое время число ядер этого изотопа окажется в 100 раз меньше их начального числа?

Решение.

Дано:

$T_{1/2} = 8$ сут

$\frac{N_0}{N} = 100$

Перевод в систему СИ:

$T_{1/2} = 8 \text{ суток} = 8 \cdot 24 \text{ часа/сутки} \cdot 3600 \text{ с/час} = 691200 \text{ с}$

Найти:

$\text{t}$ — ?

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает зависимость числа нераспавшихся атомных ядер $\text{N}$ от времени $\text{t}$. Формула, использующая период полураспада $T_{1/2}$, выглядит следующим образом:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

где $N_0$ — начальное число ядер, $\text{t}$ — прошедшее время.

Согласно условию задачи, число ядер изотопа должно стать в 100 раз меньше начального. Это можно записать как:

$N = \frac{N_0}{100}$

Подставим это соотношение в формулу закона радиоактивного распада:

$\frac{N_0}{100} = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Разделим обе части уравнения на $N_0$ (так как $N_0 \ne 0$):

$\frac{1}{100} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, можно "перевернуть" обе части уравнения:

$100 = 2^{\frac{t}{T_{1/2}}}$

Чтобы найти $\text{t}$, необходимо решить это показательное уравнение. Для этого прологарифмируем обе части по основанию 2:

$\log_2(100) = \log_2(2^{\frac{t}{T_{1/2}}})$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем:

$\log_2(100) = \frac{t}{T_{1/2}}$

Отсюда выражаем искомое время $\text{t}$:

$t = T_{1/2} \cdot \log_2(100)$

Для вычисления $\log_2(100)$ используем формулу перехода к другому основанию логарифма, например, к натуральному ($\ln$) или десятичному ($\lg$):

$\log_2(100) = \frac{\ln(100)}{\ln(2)} \approx \frac{4.60517}{0.69315} \approx 6.64386$

Теперь можем вычислить время $\text{t}$, подставив значение периода полураспада $T_{1/2} = 8$ сут:

$t \approx 8 \text{ сут} \cdot 6.64386 \approx 53.15 \text{ сут}$

Округлив до одного знака после запятой, получим $t \approx 53.2$ сут.

Ответ: время, через которое число ядер изотопа йода-131 уменьшится в 100 раз, составляет приблизительно 53,2 суток.