Номер 11.81, страница 220 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.81, страница 220.

Условие.

11.81. На рисунке 11.12 показан график зависимости числа нераспавшихся ядер полония $^{212}_{84}\text{Po}$ от времени. Определите:

а) период полураспада этого изотопа;

б) какое количество ядер распалось за 1,2 мс.

Рис. 11.12

Решение.

Дано:

График зависимости числа нераспавшихся ядер $\text{N}$ от времени $\text{t}$.

Начальное число ядер (из графика при $t=0$): $N_0 = 4 \times 10^{20}$.

Время для пункта б): $t_б = 1,2$ мс.

Перевод в СИ:

$t_б = 1,2 \text{ мс} = 1,2 \times 10^{-3} \text{ с}$.

Найти:

а) Период полураспада $T_{1/2}$.

б) Количество распавшихся ядер за время $t_б$, $\Delta N$.

Решение:

а) период полураспада этого изотопа

Период полураспада – это время, в течение которого распадается половина исходного числа радиоактивных ядер. Иначе говоря, это время, за которое число нераспавшихся ядер уменьшится вдвое.

Из графика находим начальное число ядер полония в момент времени $t = 0$:

$N_0 = 4 \times 10^{20}$ ядер.

Через время, равное одному периоду полураспада ($t = T_{1/2}$), число нераспавшихся ядер станет равным половине от начального:

$N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2} = \frac{4 \times 10^{20}}{2} = 2 \times 10^{20}$ ядер.

Теперь найдем на графике момент времени, который соответствует числу нераспавшихся ядер $N = 2 \times 10^{20}$. По графику видно, что это время составляет $t = 0,3$ мкс.

Следовательно, период полураспада $T_{1/2}$ равен 0,3 мкс.

Для проверки можно рассмотреть момент времени $t = 0,6$ мкс, что соответствует двум периодам полураспада. За это время число ядер должно уменьшиться в $2^2=4$ раза: $N(2T_{1/2}) = \frac{N_0}{4} = \frac{4 \times 10^{20}}{4} = 1 \times 10^{20}$ ядер. График подтверждает это значение, что говорит о верности нашего определения.

Ответ: Период полураспада этого изотопа составляет $T_{1/2} = 0,3$ мкс.

б) какое количество ядер распалось за 1,2 мс

Закон радиоактивного распада имеет вид:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

где $N(t)$ – число нераспавшихся ядер в момент времени $\text{t}$, $N_0$ – начальное число ядер, $T_{1/2}$ – период полураспада.

Найдем, сколько периодов полураспада прошло за время $t_б = 1,2$ мс. Для этого необходимо выразить время $t_б$ и период полураспада $T_{1/2}$ в одинаковых единицах. Переведем миллисекунды в микросекунды:

$T_{1/2} = 0,3$ мкс

$t_б = 1,2 \text{ мс} = 1,2 \times 1000 \text{ мкс} = 1200$ мкс

Найдем, сколько периодов полураспада $\text{n}$ укладывается в этот промежуток времени:

$n = \frac{t_б}{T_{1/2}} = \frac{1200 \text{ мкс}}{0,3 \text{ мкс}} = 4000$

За 1,2 мс прошло 4000 периодов полураспада. Найдем число нераспавшихся ядер к этому моменту времени:

$N(t_б) = N_0 \cdot 2^{-n} = (4 \times 10^{20}) \cdot 2^{-4000}$

Число $2^{-4000}$ является чрезвычайно малым, поэтому количество нераспавшихся ядер $N(t_б)$ можно считать равным нулю.

$N(t_б) \approx 0$

Количество распавшихся ядер $\Delta N$ равно разности между начальным числом ядер и числом нераспавшихся ядер к моменту времени $t_б$:

$\Delta N = N_0 - N(t_б) = 4 \times 10^{20} - 0 = 4 \times 10^{20}$ ядер.

Это означает, что за 1,2 мс практически все исходные ядра полония-212 распались.

Ответ: За 1,2 мс распалось $4 \times 10^{20}$ ядер.