Номер 11.99, страница 222 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.99, страница 222.

Условие.

11.99*. Радиоактивный изотоп углерода ${}^{14}_{6}\text{C}$ в старом куске дерева составляет 0,0416 массы этого изотопа в живых растениях. Каков возраст этого куска дерева? Период полураспада изотопа ${}^{14}_{6}\text{C}$ равен 5570 годам.

Решение.

Дано:

Отношение массы изотопа углерода-14 ($^{14}C$) в образце ($\text{m}$) к его массе в живых организмах ($m_0$): $ \frac{m}{m_0} = 0,0416 $

Период полураспада $^{14}C$: $ T = 5570 $ лет

Найти:

Возраст куска дерева $\text{t}$.

Решение:

Для определения возраста органических останков используется метод радиоуглеродного датирования, основанный на законе радиоактивного распада. Закон описывает, как со временем уменьшается количество радиоактивного изотопа. Для массы изотопа формула выглядит следующим образом:

$ m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} $

где:

• $ m(t) $ — масса изотопа в момент времени $ t $ (в нашем случае, в старом куске дерева),
• $ m_0 $ — начальная масса изотопа (масса в момент, когда дерево было живым),
• $ t $ — время, прошедшее с момента гибели организма (возраст образца),
• $ T $ — период полураспада изотопа.

Из условия задачи нам известно отношение $ \frac{m}{m_0} $. Преобразуем формулу:

$ \frac{m(t)}{m_0} = 2^{-\frac{t}{T}} $

Подставим известное значение:

$ 0,0416 = 2^{-\frac{t}{T}} $

Чтобы найти $ t $, нужно решить это показательное уравнение. Для этого прологарифмируем обе части уравнения. Удобнее всего использовать натуральный логарифм (ln):

$ \ln(0,0416) = \ln(2^{-\frac{t}{T}}) $

Используя свойство логарифма $ \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) $, получим:

$ \ln(0,0416) = -\frac{t}{T} \cdot \ln(2) $

Теперь выразим из этого уравнения искомый возраст $ t $:

$ t = -T \cdot \frac{\ln(0,0416)}{\ln(2)} $

Подставим числовые значения: $ T = 5570 $ лет, $ \ln(0,0416) \approx -3,1795 $, $ \ln(2) \approx 0,6931 $.

$ t \approx -5570 \text{ лет} \cdot \frac{-3,1795}{0,6931} $

$ t \approx -5570 \text{ лет} \cdot (-4,5874) $

$ t \approx 25552 \text{ лет} $

Исходное значение отношения масс дано с тремя значащими цифрами (0,0416), поэтому и ответ целесообразно округлить до трех значащих цифр.

$ t \approx 25600 \text{ лет} $

Ответ: возраст этого куска дерева составляет примерно 25600 лет.