Номер 11.97, страница 221 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.97, страница 221.

Условие.

11.97*. В микрокалориметр с теплоёмкостью 1000 Дж/К помещено 100 мг изотопа кобальта $ _{27}^{61}\text{Co} $. При распаде одного ядра кобальта выделяется энергия $ 2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} $. Через 50 мин температура калориметра повысилась на 0,06 К. Найдите период полураспада изотопа кобальта.

Решение.

Дано

Теплоёмкость микрокалориметра, $C = 1000$ Дж/К
Масса изотопа кобальта $_{27}^{61}$Co, $m = 100$ мг
Энергия, выделяющаяся при распаде одного ядра, $E_1 = 2 \cdot 10^{-19}$ Дж
Промежуток времени, $t = 50$ мин
Повышение температуры, $\Delta T = 0.06$ К

$m = 100 \text{ мг} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ кг} = 10^{-4} \text{ кг}$
$t = 50 \text{ мин} = 50 \cdot 60 \text{ с} = 3000 \text{ с}$
Молярная масса изотопа $_{27}^{61}$Co, $M \approx 61 \text{ г/моль} = 0.061 \text{ кг/моль}$

Найти:

Период полураспада изотопа кобальта, $\text{T}$.

Решение

1. Вся энергия, выделившаяся при распаде ядер кобальта, пошла на нагревание калориметра. Количество этой теплоты $\text{Q}$ можно рассчитать по формуле:

$Q = C \cdot \Delta T$

$Q = 1000 \text{ Дж/К} \cdot 0.06 \text{ К} = 60 \text{ Дж}$

2. Зная энергию $E_1$, выделяющуюся при распаде одного ядра, можно найти общее число распавшихся за время $\text{t}$ ядер $\Delta N$:

$\Delta N = \frac{Q}{E_1}$

$\Delta N = \frac{60 \text{ Дж}}{2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}} = 3 \cdot 10^{20} \text{ ядер}$

3. Для использования закона радиоактивного распада необходимо знать начальное число ядер $N_0$ в образце. Вычислим его, используя массу образца $\text{m}$, молярную массу кобальта-61 $\text{M}$ и число Авогадро $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹:

$N_0 = \frac{m}{M} N_A$

$N_0 = \frac{10^{-4} \text{ кг}}{0.061 \text{ кг/моль}} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 9.87 \cdot 10^{20} \text{ ядер}$

4. Закон радиоактивного распада связывает число распавшихся ядер $\Delta N$, начальное число ядер $N_0$, время $\text{t}$ и период полураспада $\text{T}$:

$\Delta N = N_0 (1 - 2^{-t/T})$

Выразим из этой формулы неизвестную величину $\text{T}$. Сначала найдем отношение $\frac{\Delta N}{N_0}$:

$\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - 2^{-t/T} \implies 2^{-t/T} = 1 - \frac{\Delta N}{N_0}$

Подставим вычисленные значения $\Delta N$ и $N_0$:

$2^{-t/T} = 1 - \frac{3 \cdot 10^{20}}{9.87 \cdot 10^{20}} \approx 1 - 0.304 = 0.696$

Чтобы найти $\text{T}$, прологарифмируем обе части уравнения по любому основанию, например, по основанию $\text{e}$ (натуральный логарифм):

$\ln(2^{-t/T}) = \ln(0.696)$

$-\frac{t}{T} \ln(2) = \ln(0.696)$

Теперь выразим и рассчитаем $\text{T}$:

$T = -\frac{t \cdot \ln(2)}{\ln(0.696)}$

Используя значения $t = 3000$ с, $\ln(2) \approx 0.693$ и $\ln(0.696) \approx -0.362$:

$T \approx -\frac{3000 \text{ с} \cdot 0.693}{-0.362} \approx 5743 \text{ с}$

Для удобства переведем результат в минуты:

$T \approx \frac{5743 \text{ с}}{60 \text{ с/мин}} \approx 95.7 \text{ мин}$

Ответ: период полураспада изотопа кобальта-61 составляет приблизительно 95.7 минут.