Номер 11.98, страница 222 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.98, страница 222.

Условие.

11.98*. Какая часть атомов изотопа кобальта $_{27}^{58}\text{Co}$ распадается за 20 сут, если период его полураспада 72 сут? Сколько времени понадобится, чтобы распалась такая же часть атомов изотопа $_{27}^{60}\text{Co}$, период полураспада которого составляет 5,3 года?

Решение.

Дано:

Изотоп кобальта-58 ($_{27}^{58}\text{Co}$):

$t_1 = 20 \text{ сут}$

$T_1 = 72 \text{ сут}$

Изотоп кобальта-60 ($_{27}^{60}\text{Co}$):

$T_2 = 5,3 \text{ года}$

Найти:

$\frac{\Delta N_1}{N_0}$ — долю распавшихся атомов $_{27}^{58}\text{Co}$; $t_2$ — время, за которое распадется такая же доля атомов $_{27}^{60}\text{Co}$.

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает количество нераспавшихся атомов $\text{N}$ в момент времени $\text{t}$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

где $N_0$ — начальное число атомов, а $\text{T}$ — период полураспада.

Число распавшихся атомов $\Delta N$ равно разности между начальным количеством атомов и количеством нераспавшихся атомов: $\Delta N = N_0 - N(t)$.

Следовательно, доля (часть) распавшихся атомов вычисляется по формуле:

$\frac{\Delta N}{N_0} = \frac{N_0 - N_0 \cdot 2^{-t/T}}{N_0} = 1 - 2^{-t/T}$

Какая часть атомов изотопа кобальта $_{27}^{58}\text{Co}$ распадается за 20 сут, если период его полураспада 72 сут?

Для нахождения доли распавшихся атомов изотопа $_{27}^{58}\text{Co}$ подставим его данные в выведенную формулу:

$\frac{\Delta N_1}{N_0} = 1 - 2^{-t_1/T_1} = 1 - 2^{-20/72} = 1 - 2^{-5/18}$

Выполним вычисления:

$2^{-5/18} \approx 0,825$

$\frac{\Delta N_1}{N_0} \approx 1 - 0,825 = 0,175$

Таким образом, за 20 суток распадается 0,175 или 17,5% от начального числа атомов.

Ответ: за 20 суток распадается примерно 0,175 (17,5%) атомов изотопа кобальта-58.

Сколько времени понадобится, чтобы распалась такая же часть атомов изотопа $_{27}^{60}\text{Co}$, период полураспада которого составляет 5,3 года?

По условию задачи, доля распавшихся атомов для изотопа $_{27}^{60}\text{Co}$ должна быть такой же, как и для $_{27}^{58}\text{Co}$:

$\frac{\Delta N_2}{N_0} = \frac{\Delta N_1}{N_0}$

Применяя формулу для доли распавшихся атомов, получаем равенство:

$1 - 2^{-t_2/T_2} = 1 - 2^{-t_1/T_1}$

Из этого следует, что показатели степени равны:

$\frac{t_2}{T_2} = \frac{t_1}{T_1}$

Теперь выразим искомое время $t_2$:

$t_2 = T_2 \cdot \frac{t_1}{T_1}$

Подставим числовые значения. Так как $t_1$ и $T_1$ имеют одинаковые единицы измерения (сутки), их отношение является безразмерной величиной, и результат для $t_2$ будет получен в тех же единицах, что и $T_2$, то есть в годах.

$t_2 = 5,3 \text{ года} \cdot \frac{20 \text{ сут}}{72 \text{ сут}} = 5,3 \cdot \frac{5}{18} \text{ года} \approx 1,472 \text{ года}$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью данных ($T_2=5,3$ года):

$t_2 \approx 1,5 \text{ года}$

Ответ: чтобы распалась такая же часть атомов изотопа кобальта-60, понадобится примерно 1,5 года.