Страница 60 - гдз по математике 3 класс проверочные работы Волкова

1. Остаток при делении всегда должен быть делителя.

1. Согласно определению деления с остатком, для любого целого числа $a$ (делимое) и натурального числа $b$ (делитель) существуют единственные целые числа $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток), для которых выполняется равенство: $a = b \cdot q + r$. При этом остаток $r$ должен удовлетворять строгому условию $0 \le r < b$.
Это основное правило деления с остатком: остаток всегда является неотрицательным числом, которое строго меньше делителя.
Если бы остаток был больше или равен делителю ($r \ge b$), это означало бы, что деление выполнено не до конца. В этом случае мы могли бы увеличить частное $q$ как минимум на единицу, а остаток бы, соответственно, уменьшился.
Например, при делении 17 на 5:
$17 : 5 = 3$ (ост. $2$)
Проверка: $17 = 5 \cdot 3 + 2$. Остаток $2$ меньше делителя $5$ ($2 < 5$), значит, деление выполнено верно.
Таким образом, в пропуске должно стоять слово «меньше».
Ответ: меньше

2. $89 : 9 = 9 \text{ (ОСТ. \square)}$.

Чтобы решить данный пример, необходимо выполнить деление с остатком. Деление с остатком — это вид деления, при котором делитель не делит делимое нацело.

Решение:

Нам нужно разделить 89 на 9.

1. Найдем наибольшее число до 89, которое делится на 9 без остатка. Для этого воспользуемся таблицей умножения на 9.
$9 \times 8 = 72$
$9 \times 9 = 81$
$9 \times 10 = 90$
Наибольшее число, которое меньше 89 и делится на 9, это 81. Частное от этого деления равно 9 ($81 : 9 = 9$), что совпадает с условием задачи.

2. Теперь найдем остаток. Для этого из делимого (89) вычтем число, которое мы нашли на предыдущем шаге (81).

$89 - 81 = 8$

3. Остаток (8) должен быть меньше делителя (9). $8 < 9$ — условие выполняется.

Таким образом, при делении 89 на 9 получается 9 и остаток 8.

Проверка: $9 \times 9 + 8 = 81 + 8 = 89$. Всё верно.

Ответ: 8

3. $x : 7 = 6 \text{ (ост. 3)}$.

В этом задании необходимо найти неизвестное делимое. Деление с остатком можно представить в виде формулы:

Делимое = (Делитель × Частное) + Остаток

В нашем случае известны:

• Делитель: $7$
• Частное (неполное частное): $6$
• Остаток: $3$

Чтобы найти делимое, нужно умножить частное на делитель и прибавить к результату остаток.

1. Умножаем делитель на частное:

$7 \times 6 = 42$

2. К полученному произведению прибавляем остаток:

$42 + 3 = 45$

Таким образом, неизвестное число равно $45$.

Проверим решение, выполнив деление:

$45 : 7 = 6$ с остатком $3$, так как $7 \times 6 + 3 = 42 + 3 = 45$.

Ответ: $45$.

4. $57 \div \Box = 8 \text{ (ост. 1)}$

В данном уравнении необходимо найти неизвестный делитель. Запишем правило деления с остатком в виде формулы:

Делимое = (Делитель × Частное) + Остаток

В нашем случае известны:

• Делимое = 57
• Частное = 8
• Остаток = 1

Обозначим неизвестный делитель за $x$. Подставим все известные значения в формулу:

$57 = x \cdot 8 + 1$

Чтобы найти произведение делителя на частное ($x \cdot 8$), нужно из делимого вычесть остаток:

$x \cdot 8 = 57 - 1$

$x \cdot 8 = 56$

Теперь, чтобы найти неизвестный множитель $x$ (который является делителем), нужно произведение (56) разделить на известный множитель (8):

$x = 56 : 8$

$x = 7$

Таким образом, пропущенное число — это 7.

Сделаем проверку:

$57 : 7 = 8$ (остаток $57 - 7 \cdot 8 = 57 - 56 = 1$).

Все верно.

Ответ: 7

5. $64 : 7 = \square \text{ (ост. } \square).$

Чтобы решить данный пример, необходимо выполнить деление с остатком. Это значит, что нужно найти, сколько раз число 7 целиком помещается в числе 64, и какая часть числа 64 останется после этого.

1. Найдем наибольшее число, которое меньше или равно 64 и делится на 7 без остатка. Для этого можно вспомнить таблицу умножения на 7:

$7 \times 8 = 56$

$7 \times 9 = 63$

$7 \times 10 = 70$

Число 70 уже больше 64, значит, нам подходит 63. Таким образом, 7 помещается в 64 девять полных раз. Число 9 — это неполное частное.

2. Теперь найдем остаток. Для этого вычтем из исходного числа (делимого) то число, которое мы нашли на предыдущем шаге:

$64 - 63 = 1$

Остаток равен 1. Важно, чтобы остаток был меньше делителя, что в нашем случае выполняется: $1 < 7$.

3. Запишем результат. При делении 64 на 7 получается 9 и 1 в остатке.

Проверка: $(9 \times 7) + 1 = 63 + 1 = 64$. Все верно.

Ответ: 64 : 7 = 9 (ост. 1).

6. Запиши наименьшее число, при делении которого на 5 получается остаток 4.

Для решения этой задачи воспользуемся определением деления с остатком. Любое число a можно представить в виде $a = b \cdot q + r$, где b — это делитель, q — неполное частное, а r — остаток, причем $0 \le r < b$.

По условию задачи, мы ищем наименьшее число a, которое при делении на $b=5$ дает остаток $r=4$. Подставим эти значения в формулу: $a = 5 \cdot q + 4$.

Чтобы найти наименьшее число a, необходимо взять наименьшее возможное значение для неполного частного q. Поскольку частное при делении натуральных чисел должно быть целым и неотрицательным, наименьшее возможное значение для q — это 0.

Подставим $q=0$ в нашу формулу: $a = 5 \cdot 0 + 4 = 4$.

Проверим полученный результат: 4 разделить на 5 равно 0 с остатком 4. Условие выполняется. При любом большем значении q (например, $q=1$) мы получим большее число a (например, $5 \cdot 1 + 4 = 9$). Таким образом, 4 является наименьшим числом, удовлетворяющим заданному условию.

Ответ: 4

7. Запиши выражение: $ (50+8) \div 7 $. Выполни деление с остатком.

Запиши выражение
Согласно условию, необходимо сумму чисел $50$ и $8$ разделить на $7$. Сумма записывается как $50 + 8$. Так как сначала нужно выполнить сложение, а потом деление, сумму необходимо взять в скобки. Получается следующее выражение: $(50 + 8) \div 7$.
Ответ: $(50 + 8) \div 7$.

Выполни деление с остатком
1. Сначала выполним действие в скобках (найдем сумму):
$50 + 8 = 58$.
2. Теперь разделим полученное число на $7$:
$58 \div 7$.
3. Найдем самое большое число, меньшее $58$, которое делится на $7$ без остатка. Это число $56$.
$56 \div 7 = 8$.
Это неполное частное.
4. Теперь найдем остаток, вычтя $56$ из $58$:
$58 - 56 = 2$.
Это остаток. Остаток ($2$) меньше делителя ($7$), значит, вычисление верное.
Результат деления: $8$ и $2$ в остатке.
Ответ: $8$ (ост. $2$).

8. Какой остаток получается при делении на 8 каждого из чисел? Запиши в таблице.

Чтобы найти остаток при делении одного числа на другое, нужно определить, сколько раз делитель (в данном случае 8) «помещается» в делимом, а затем найти разницу между исходным числом и произведением делителя на полученное частное. Эта разница и будет остатком.

10

Разделим 10 на 8. Ближайшее к 10 число, которое делится на 8 без остатка, это 8.
$10 = 8 \times 1 + 2$
Частное равно 1, а остаток равен 2.
Ответ: 2

17

Разделим 17 на 8. Ближайшее к 17 число, которое делится на 8 без остатка, это 16.
$17 = 8 \times 2 + 1$
Частное равно 2, а остаток равен 1.
Ответ: 1

28

Разделим 28 на 8. Ближайшее к 28 число, которое делится на 8 без остатка, это 24.
$28 = 8 \times 3 + 4$
Частное равно 3, а остаток равен 4.
Ответ: 4

35

Разделим 35 на 8. Ближайшее к 35 число, которое делится на 8 без остатка, это 32.
$35 = 8 \times 4 + 3$
Частное равно 4, а остаток равен 3.
Ответ: 3

Заполненная таблица:

9. Запиши проверку для выполненного деления с остатком. $69 : 8 = 8 \text{ (ост. 5)}$

Чтобы выполнить проверку деления с остатком, необходимо делитель умножить на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится делимое, значит деление выполнено верно.

В заданном примере $69 : 8 = 8$ (ост. 5) имеем:

• Делимое: 69
• Делитель: 8
• Неполное частное: 8
• Остаток: 5

Выполним проверку, подставив значения в формулу: Делитель $\cdot$ Неполное частное + Остаток = Делимое.

$8 \cdot 8 + 5 = 64 + 5 = 69$

Результат вычислений (69) совпадает с делимым (69), следовательно, деление с остатком выполнено правильно.

Ответ: $8 \cdot 8 + 5 = 69$.