Страница 61 - гдз по математике 3 класс проверочные работы Волкова

1. Самый маленький остаток при делении равен $\square$.

При делении одного целого числа (делимого) на другое натуральное число (делитель), мы находим, сколько раз делитель "помещается" в делимом, и что при этом остается. Этот остаток и является результатом, который нас интересует.

Математически это выражается формулой деления с остатком:
$a = b \cdot q + r$
где:

• a – делимое;
• b – делитель ($b > 0$);
• q – неполное частное;
• r – остаток.

Ключевое правило деления с остатком гласит, что остаток r всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя b. Это можно записать в виде неравенства:
$0 \le r < b$

Из этого неравенства видно, что самое маленькое значение, которое может принять остаток r, — это 0. Это происходит в тех случаях, когда одно число делится на другое нацело.

Например:

• При делении 15 на 3, остаток равен 0, так как $15 = 3 \cdot 5 + 0$.
• При делении 8 на 4, остаток равен 0, так как $8 = 4 \cdot 2 + 0$.
• При делении 15 на 4, остаток равен 3, так как $15 = 4 \cdot 3 + 3$. Здесь остаток 3 больше 0.

Таким образом, наименьший возможный остаток при делении любого числа — это ноль.

Ответ: 0

2. $74 : 8 = 9$ (ост. $\Box$).

В этом задании нужно найти остаток от деления. Для этого воспользуемся правилом проверки деления с остатком: чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное и прибавить остаток.

Делимое = (Делитель × Частное) + Остаток

Из этого правила мы можем выразить остаток:

Остаток = Делимое - (Делитель × Частное)

В нашем случае дано:

• Делимое: 74
• Делитель: 8
• Частное: 9

1. Сначала найдем произведение делителя и частного:

$8 \times 9 = 72$

2. Теперь вычтем полученное произведение из делимого, чтобы найти остаток:

$74 - 72 = 2$

Остаток равен 2. Убедимся, что остаток меньше делителя: $2 < 8$. Условие выполняется.

Таким образом, выражение выглядит так:

$74 : 8 = 9$ (ост. 2).

Ответ: 2

3. $\boxed{\hphantom{XX}} : 6 = 9 \text{ (ОСТ. 4)}.$

В этом задании необходимо найти неизвестное делимое. Чтобы найти делимое при делении с остатком, нужно умножить делитель на неполное частное и к результату прибавить остаток.

Формула для нахождения делимого ($a$) выглядит так: $a = b \times q + r$, где $b$ – делитель, $q$ – неполное частное, а $r$ – остаток.

Подставим известные значения из условия: делитель $b=6$, неполное частное $q=9$ и остаток $r=4$.

Выполним вычисление:
$a = 6 \times 9 + 4$
$a = 54 + 4$
$a = 58$

Таким образом, искомое число — это 58.

Проверка:
Разделим 58 на 6: $58 : 6$. Ближайшее к 58 число, которое делится на 6 без остатка, — это 54 ($6 \times 9 = 54$). Остаток равен $58 - 54 = 4$. Следовательно, $58 : 6 = 9$ (ост. 4). Решение верное.

Ответ: 58

4. $53 : \Box = 8$ (ост. 5).

Чтобы решить это уравнение, нужно найти неизвестный делитель. Вспомним правило деления с остатком: делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток.

В данном примере:
Делимое = 53
Частное = 8
Остаток = 5

Пусть неизвестный делитель — это $x$. Тогда можно записать формулу:
$53 = x \cdot 8 + 5$

Сначала найдем, какое число получилось бы при умножении делителя на частное. для этого вычтем остаток из делимого:
$53 - 5 = 48$

Теперь у нас есть более простое уравнение:
$x \cdot 8 = 48$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (48) разделить на известный множитель (8):
$x = 48 : 8$
$x = 6$

Проверка:
Разделим 53 на 6:
$53 : 6 = 8$ (ближайшее произведение $6 \cdot 8 = 48$)
Найдем остаток: $53 - 48 = 5$.
Все сходится: $53 : 6 = 8$ (ост. 5).

Ответ: 6

5. $83 : 9 = \Box \text{ (ОСТ. } \Box\text{)}.$

5. Для выполнения деления с остатком $83 : 9$ необходимо найти наибольшее число, которое меньше или равно 83 и делится на 9 без остатка. Для этого можно воспользоваться таблицей умножения на 9.

Подберем ближайшее к 83 произведение при умножении на 9:

$9 \times 8 = 72$

$9 \times 9 = 81$

$9 \times 10 = 90$

Наибольшее число, которое не превышает 83, – это 81. Разделив его на 9, мы получим неполное частное:

$81 : 9 = 9$

Теперь найдем остаток. Для этого из делимого (83) вычтем полученное произведение (81):

$83 - 81 = 2$

Остаток равен 2. Проверка: остаток (2) должен быть меньше делителя (9). Условие $2 < 9$ выполняется, следовательно, решение верное.

Таким образом, при делении 83 на 9 получается 9 и 2 в остатке.

Ответ: $83 : 9 = 9$ (ост. $2$).

6. Запиши наименьшее число, при делении которого на 7 получается остаток 6.

6.

Чтобы найти искомое число, воспользуемся общей формулой деления с остатком:
Делимое = Делитель × Неполное частное + Остаток
В виде математического выражения это выглядит так: $a = b \cdot q + r$, где $a$ – искомое число (делимое), $b$ – делитель, $q$ – неполное частное, а $r$ – остаток.

По условию задачи, нам известно, что делитель $b = 7$, а остаток $r = 6$. Подставим эти значения в формулу:
$a = 7 \cdot q + 6$

Нам нужно найти наименьшее число $a$. Поскольку $a$ зависит от значения неполного частного $q$, для нахождения наименьшего $a$ необходимо взять наименьшее возможное целое неотрицательное значение для $q$. Наименьшим таким значением является $q = 0$.

Теперь подставим $q = 0$ в наше уравнение:
$a = 7 \cdot 0 + 6$
$a = 0 + 6$
$a = 6$

Таким образом, наименьшее число, которое при делении на 7 дает остаток 6, равно 6.
Проверим: $6 : 7 = 0$ (остаток $6$). Условие, что остаток ($6$) должен быть меньше делителя ($7$), выполняется.

Ответ: 6

7. Запиши выражение: $(60 - 8) \div 6$. Выполни деление с остатком.

Запиши выражение

Фраза "разность чисел 60 и 8" означает математическое действие вычитания: $60 - 8$. Так как эту разность необходимо "разделить на 6", то для соблюдения правильного порядка действий (сначала вычитание, а затем деление) выражение заключается в скобки. Итоговое выражение выглядит так:

$(60 - 8) : 6$

Выполни деление с остатком

Сначала вычислим значение выражения в скобках:

$60 - 8 = 52$

Теперь необходимо разделить полученное число 52 на 6 с остатком:

$52 : 6$

Чтобы выполнить деление с остатком, найдем самое большое число, которое не превышает 52 и делится на 6 без остатка. Это число 48, так как $6 \cdot 8 = 48$. Таким образом, неполное частное равно 8.

Далее найдем остаток. Для этого из делимого (52) вычтем полученное произведение (48):

$52 - 48 = 4$

Остаток равен 4. Проверим, что остаток (4) меньше делителя (6): $4 < 6$. Условие выполняется.

Следовательно, результат деления равен 8 с остатком 4.

Ответ: $(60 - 8) : 6 = 8$ (ост. $4$).

8. Какой остаток получается при делении на 7 каждого из чисел? Запиши в таблице.

Для нахождения остатка от деления одного числа на другое, нужно найти, сколько раз делитель «помещается» в делимом, а затем вычесть из делимого произведение делителя на полученное целое число (неполное частное).

Формула деления с остатком выглядит так: $a = b \times q + r$, где $a$ – делимое, $b$ – делитель, $q$ – неполное частное, а $r$ – остаток, причем $0 \le r < b$.

Для числа 11:

Делим 11 на 7. Ближайшее целое число, на которое можно умножить 7, чтобы результат был меньше или равен 11, это 1.

$7 \times 1 = 7$

Теперь находим остаток, вычитая полученный результат из исходного числа:

$11 - 7 = 4$

Таким образом, $11 = 7 \times 1 + 4$.

Ответ: 4

Для числа 23:

Делим 23 на 7. Ближайшее целое число, на которое можно умножить 7, чтобы результат был меньше или равен 23, это 3.

$7 \times 3 = 21$

Находим остаток:

$23 - 21 = 2$

Таким образом, $23 = 7 \times 3 + 2$.

Ответ: 2

Для числа 41:

Делим 41 на 7. Ближайшее целое число, на которое можно умножить 7, чтобы результат был меньше или равен 41, это 5.

$7 \times 5 = 35$

Находим остаток:

$41 - 35 = 6$

Таким образом, $41 = 7 \times 5 + 6$.

Ответ: 6

Для числа 50:

Делим 50 на 7. Ближайшее целое число, на которое можно умножить 7, чтобы результат был меньше или равен 50, это 7.

$7 \times 7 = 49$

Находим остаток:

$50 - 49 = 1$

Таким образом, $50 = 7 \times 7 + 1$.

Ответ: 1

Заполненная таблица с остатками:

9. Запиши проверку для выполненного деления с остатком. $51 : 7 = 7 \text{ (ост. 2)}$

Чтобы выполнить проверку деления с остатком, необходимо умножить делитель на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится делимое, то деление выполнено верно. Также важно помнить, что остаток всегда должен быть меньше делителя.

В данном примере $51 : 7 = 7 \text{ (ост. 2)}$:
- Делимое: 51
- Делитель: 7
- Неполное частное: 7
- Остаток: 2

Выполним проверку в два шага:

1. Сначала сравним остаток с делителем. Остаток должен быть меньше.
$2 < 7$.
Условие выполняется.

2. Теперь умножим делитель на неполное частное и прибавим остаток. Результат должен быть равен делимому.
$7 \cdot 7 + 2 = 49 + 2 = 51$.

Полученный результат (51) совпадает с делимым (51). Это подтверждает, что деление было выполнено правильно.

Ответ: $7 \cdot 7 + 2 = 51$.