Страница 58 - гдз по математике 3 класс проверочные работы Волкова

1. Укажи остатки, которые могут получаться при делении на 6.

1, 2, 3, 4, 5, 6

1, 2, 3, 4, 5

При делении с остатком, остаток всегда должен быть меньше делителя. В этой задаче делитель равен 6.

Если мы обозначим остаток буквой $r$, то должно выполняться неравенство $0 \le r < 6$. Это означает, что остаток может быть любым целым числом от 0 до 5 включительно.

Таким образом, полный список возможных остатков при делении на 6: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Теперь рассмотрим варианты, предложенные в задании:

1. Список 1, 2, 3, 4, 5, 6 — неверный, так как остаток не может быть равен делителю (6). Если остаток равен 6, это значит, что число можно разделить на 6 ещё раз, и настоящий остаток будет равен 0.

2. Список 1, 2, 3, 4, 5 — верный выбор из предложенных. Он содержит только те остатки, которые действительно могут получиться при делении на 6. Хотя в этом списке отсутствует остаток 0 (который получается, когда число делится на 6 нацело), он не содержит невозможных значений, в отличие от первого списка.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

2. В каком случае деление с остат- ком выполнено верно?

$47 \div 7 = 6 \text{ (ост. 2)}$

$47 \div 7 = 6 \text{ (ост. 5)}$

Чтобы определить, в каком случае деление с остатком выполнено верно, необходимо проверить каждый из вариантов. Правильность деления с остатком проверяется по формуле: Делимое = (Делитель × Неполное частное) + Остаток. Также важно, чтобы остаток был меньше делителя.

Разбор первого варианта: 47 : 7 = 6 (ост. 2)

Выполним проверку: умножим делитель $7$ на неполное частное $6$ и прибавим остаток $2$.

$7 \times 6 + 2 = 42 + 2 = 44$.

Результат $44$ не равен делимому $47$. Значит, вычисление неверно.

Разбор второго варианта: 47 : 7 = 6 (ост. 5)

Выполним проверку: умножим делитель $7$ на неполное частное $6$ и прибавим остаток $5$.

$7 \times 6 + 5 = 42 + 5 = 47$.

Результат $47$ равен делимому $47$. Теперь проверим, меньше ли остаток $5$ делителя $7$.

$5 < 7$.

Это условие выполняется. Значит, вычисление верно.

Ответ: деление с остатком выполнено верно во втором случае: $47:7 = 6$ (ост. 5).

3. Укажи наибольший остаток, который может получаться при делении на 5. 5 4 3

При делении с остатком, остаток всегда должен быть строго меньше делителя. Это основное правило деления с остатком.

В этой задаче деление производится на число 5. Следовательно, делитель равен 5.

Согласно правилу, остаток $r$ должен быть меньше 5. Математически это записывается как $0 \le r < 5$.

Таким образом, возможными остатками при делении на 5 могут быть только следующие целые числа: 0, 1, 2, 3, 4.

Нам нужно указать наибольший из этих возможных остатков. Сравнивая числа 0, 1, 2, 3 и 4, мы видим, что наибольшее из них — 4.

Например, $9 \div 5 = 1$ (остаток 4), или $14 \div 5 = 2$ (остаток 4).

Среди предложенных вариантов (5, 4, 3) наибольший возможный остаток — это 4.

Ответ: 4

4. Укажи число, которое надо записать в окошко, чтобы равенство $78 : \Box = 9 \text{ (ост. 6)}$ стало верным.

3 8 5

Данное равенство представляет собой деление с остатком. Чтобы найти неизвестный делитель, можно воспользоваться следующим правилом: нужно из делимого вычесть остаток, а затем полученную разность разделить на частное.

В нашем примере:
Делимое = 78
Частное = 9
Остаток = 6

1. Вычтем остаток из делимого:

$78 - 6 = 72$

Полученное число 72 — это та часть делимого, которая делится на искомый делитель нацело.

2. Теперь разделим полученную разность на частное, чтобы найти делитель:

$72 : 9 = 8$

Следовательно, число, которое нужно вписать в окошко, — это 8.

Проверка:
Во-первых, при делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя. В нашем случае $6 < 8$. Это условие выполняется.
Во-вторых, проверим само равенство, используя формулу: Делимое = (Делитель × Частное) + Остаток.

$8 \cdot 9 + 6 = 72 + 6 = 78$

Результат совпадает с делимым. Значит, решение верное.

Ответ: 8.

5. Сколько различных остатков может быть при делении разных чисел на 4? 2 4 3

По определению деления с остатком, при делении любого целого числа $a$ (делимое) на натуральное число $d$ (делитель), остаток $r$ должен быть меньше делителя и быть неотрицательным. Это можно записать в виде формулы:

$a = q \cdot d + r$, где $q$ — это неполное частное, а $r$ — остаток, для которого выполняется условие $0 \le r < d$.

В данной задаче делителем является число 4, то есть $d=4$.

Подставив это значение в неравенство для остатка, получаем: $0 \le r < 4$.

Этому условию удовлетворяют следующие целые числа: 0, 1, 2, 3.

Таким образом, существует всего 4 возможных различных остатка при делении на 4.

Примеры:
$8 \div 4 = 2$ (остаток 0)
$9 \div 4 = 2$ (остаток 1)
$10 \div 4 = 2$ (остаток 2)
$11 \div 4 = 2$ (остаток 3)

Ответ: 4.

6. Укажи частное и остаток, которые получатся при делении $38 \div 14$.

$3 \text{ (ост. } 2)$

$2 \text{ (ост. } 10)$

Чтобы найти частное и остаток при делении 38 на 14, необходимо выполнить деление с остатком. Это значит найти целое число — частное, которое показывает, сколько раз делитель (14) "помещается" в делимое (38), и остаток, который должен быть меньше делителя.

1. Найдем частное. Подберем такое целое число, которое при умножении на 14 даст результат, максимально близкий к 38, но не больше его. Попробуем умножать 14 на целые числа, начиная с 1:

$14 \times 1 = 14$ (меньше 38)

$14 \times 2 = 28$ (меньше 38)

$14 \times 3 = 42$ (больше 38, значит это число не подходит)

Наибольшее целое число, которое подошло, — это 2. Следовательно, 2 — это частное (неполное частное).

2. Определим остаток. Для этого из делимого (38) вычтем произведение частного (2) на делитель (14):

$38 - (2 \times 14) = 38 - 28 = 10$

Остаток равен 10. Проверим, что остаток меньше делителя: $10 < 14$. Условие выполняется.

Таким образом, при делении 38 на 14 получается частное 2 и остаток 10.

Ответ: 2 (ост. 10)

7. Укажи частное и остаток, которые получатся при делении $7$ на $9$.

9 (ост. 7)

0 (ост. 9)

0 (ост. 7)

Чтобы найти частное и остаток при делении 7 на 9, необходимо применить правило деления с остатком. Оно выражается формулой: $a = b \cdot q + r$, где:
$a$ — делимое (число, которое делят),
$b$ — делитель (число, на которое делят),
$q$ — неполное частное (результат деления),
$r$ — остаток.

Ключевое условие при делении с остатком: остаток всегда должен быть меньше делителя, но при этом быть равным нулю или больше него ($0 \le r < b$).

В нашей задаче:
Делимое $a = 7$.
Делитель $b = 9$.

Поскольку делимое (7) меньше делителя (9), то делитель не помещается в делимом ни одного целого раза. Это означает, что неполное частное $q$ равно 0.

Теперь, зная частное, мы можем найти остаток $r$ из формулы $a = b \cdot q + r$:
$7 = 9 \cdot 0 + r$
$7 = 0 + r$
$r = 7$

Проверим, выполняется ли для нашего остатка условие $0 \le r < b$:
$0 \le 7 < 9$. Условие выполняется, так как 7 находится в промежутке от 0 (включительно) до 9 (не включительно).

Следовательно, при делении 7 на 9 получается частное 0 и остаток 7. Сравнив с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ — третий.

Ответ: 0 (ост. 7)

8. Какое число разделили на 9, если получили в частном 3 и в остатке 2?

20 29 23

Чтобы найти исходное число (делимое), которое было разделено, необходимо использовать формулу для деления с остатком. Правило гласит: нужно делитель умножить на частное и к результату прибавить остаток.

Формула выглядит так:

Делимое = (Делитель × Частное) + Остаток

Согласно условию задачи, мы имеем следующие значения:

Делитель = 9

Частное = 3

Остаток = 2

Теперь подставим эти значения в формулу, чтобы найти делимое:

$Делимое = (9 \times 3) + 2$

Выполним вычисления в правильном порядке. Сначала умножение:

$9 \times 3 = 27$

Затем к полученному произведению прибавим остаток:

$27 + 2 = 29$

Таким образом, искомое число равно 29. Этот вариант присутствует среди предложенных ответов (20, 29, 23).

Для проверки можно выполнить обратное действие — разделить 29 на 9:

$29 \div 9 = 3$ и в остатке $2$. Расчет верен.

Ответ: 29

9* Какое число делится на 8 без остатка, на 7 с остатком 5, на 6 с остатком 4? 48 32 40

Для решения этой задачи необходимо проверить каждое из предложенных чисел (48, 32, 40) на соответствие трем условиям, указанным в вопросе:

1. Число должно делиться на 8 без остатка.
2. При делении на 7 должен получаться остаток 5.
3. При делении на 6 должен получаться остаток 4.

Проверка числа 48

• Деление на 8: $48 \div 8 = 6$. Остатка нет. Первое условие выполняется.
• Деление на 7: $48 \div 7 = 6$ с остатком $6$, так как $7 \times 6 + 6 = 48$. Требуемый остаток — 5. Второе условие не выполняется.

Поскольку одно из условий не выполнено, число 48 не является правильным ответом.

Проверка числа 32

• Деление на 8: $32 \div 8 = 4$. Остатка нет. Первое условие выполняется.
• Деление на 7: $32 \div 7 = 4$ с остатком $4$, так как $7 \times 4 + 4 = 32$. Требуемый остаток — 5. Второе условие не выполняется.

Поскольку одно из условий не выполнено, число 32 также не является правильным ответом.

Проверка числа 40

• Деление на 8: $40 \div 8 = 5$. Остатка нет. Первое условие выполняется.
• Деление на 7: $40 \div 7 = 5$ с остатком $5$, так как $7 \times 5 + 5 = 40$. Второе условие выполняется.
• Деление на 6: $40 \div 6 = 6$ с остатком $4$, так как $6 \times 6 + 4 = 40$. Третье условие выполняется.

Число 40 удовлетворяет всем трем условиям.

Ответ: 40