Страница 59 - гдз по математике 3 класс проверочные работы Волкова

1. Укажи остатки, которые могут получаться при делении на 8.

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$

Согласно правилу деления с остатком, при делении любого целого числа на натуральное число b (делитель), остаток r всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя b. Это можно выразить с помощью неравенства: $0 \le r < b$.

В данной задаче деление выполняется на число 8, следовательно, делитель $b = 8$.
Применяя правило, мы получаем условие для возможных остатков r:
$0 \le r < 8$
Это означает, что возможными остатками при делении на 8 являются все целые числа от 0 до 7 включительно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Теперь рассмотрим предложенные в задании варианты:
1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Второй вариант (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) является неверным. Он включает число 8, но остаток не может быть равен делителю. Если бы остаток был равен 8, это означало бы, что можно было бы разделить на 8 еще один раз, получив остаток 0. Например, $16:8=2$ (остаток 0), а не 1 (остаток 8).

Первый вариант (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) содержит только те числа, которые действительно могут быть остатками при делении на 8, так как все они меньше 8. Хотя в этом списке отсутствует остаток 0 (который получается, когда число делится на 8 без остатка), из двух предложенных вариантов этот является единственно правильным, поскольку не содержит невозможных значений.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

2. В каком случае деление с остатком выполнено верно?

$58 : 9 = 5$ (ост. 13)

$58 : 9 = 6$ (ост. 4)

Для того чтобы определить, какой из вариантов деления с остатком выполнен верно, необходимо последовательно проверить два условия для каждого из предложенных случаев.

Условия правильного деления с остатком:

1. Остаток всегда должен быть меньше делителя.
2. Проверка деления: если умножить частное на делитель и к результату прибавить остаток, должно получиться делимое. Формула проверки: $делимое = делитель \cdot частное + остаток$.

Проанализируем каждый случай.

58:9=5(ост. 13)

1. Сначала проверим первое условие. В этом примере делитель равен 9, а остаток — 13. Сравним их: $13 > 9$. Остаток больше делителя, что является ошибкой при делении с остатком. Дальнейшая проверка не требуется.

Вывод: этот случай содержит ошибку, деление выполнено неверно.

58:9=6(ост. 4)

1. Проверим первое условие. Делитель равен 9, а остаток — 4. Сравним их: $4 < 9$. Условие выполняется, так как остаток меньше делителя.

2. Теперь проверим второе условие по формуле. Подставим значения: делимое (58), делитель (9), частное (6) и остаток (4).

$9 \cdot 6 + 4 = 54 + 4 = 58$

Результат вычислений (58) равен делимому (58), значит, второе условие также выполняется.

Вывод: оба условия соблюдены, следовательно, деление выполнено верно.

Ответ: Верно выполнен второй случай: $58:9=6(ост. 4)$.

3. Укажи наибольший остаток, который может быть при делении на 6.

6 4 5

При делении любого целого числа на некоторое число с остатком, остаток всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя.

В данной задаче делителем является число 6. Обозначим искомый остаток буквой $r$. Согласно правилу деления с остатком, для $r$ должно выполняться следующее неравенство:
$0 \le r < 6$

Это означает, что остаток $r$ может быть любым целым числом из множества {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Наибольшим значением в этом множестве является 5.

Например, при делении числа 11 на 6, в частном будет 1, а в остатке 5:
$11 = 6 \cdot 1 + 5$

Ответ: 5

4. Укажи число, которое надо записать в окошко, чтобы равенство $68 : \square = 8$ (ост. 4) стало верным. 8 6 4

Данное равенство представляет собой деление с остатком. Чтобы найти неизвестный делитель, можно использовать формулу, которая связывает все компоненты этого действия:
Делимое = (Делитель × Неполное частное) + Остаток

В нашем случае:
Делимое равно 68.
Неполное частное равно 8.
Остаток равен 4.
Делитель — это число, которое нужно найти.

Для начала, вычтем остаток из делимого, чтобы узнать, какое число делится нацело на искомый делитель:
$68 - 4 = 64$

Теперь мы знаем, что произведение делителя на неполное частное (8) равно 64. Чтобы найти делитель, нужно разделить 64 на 8:
$64 : 8 = 8$

Таким образом, искомое число — это 8.
Выполним проверку. Важное условие при делении с остатком: остаток всегда должен быть меньше делителя.
$4 < 8$. Условие выполняется.
Теперь проверим все равенство: $8 \times 8 + 4 = 64 + 4 = 68$. Все верно.

Ответ: 8

5. Сколько различных остатков может быть при делении разных чисел на 3?

2 1 3

При делении любого целого числа $a$ (делимое) на натуральное число $d$ (делитель), результатом является неполное частное $q$ и остаток $r$. Это можно записать в виде формулы: $a = q \cdot d + r$.

По определению деления с остатком, остаток $r$ всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя $d$. Математически это записывается как $0 \le r < d$.

В данном вопросе делитель $d=3$. Подставив это значение в неравенство для остатка, получаем: $0 \le r < 3$.

Этому условию удовлетворяют только три целых числа: 0, 1 и 2.

Рассмотрим примеры для каждого возможного остатка:
- Если число делится на 3 без остатка, то остаток равен 0 (например, $6 \div 3 = 2$, остаток 0).
- Если при делении на 3 остается 1, то остаток равен 1 (например, $7 \div 3 = 2$, остаток 1).
- Если при делении на 3 остается 2, то остаток равен 2 (например, $8 \div 3 = 2$, остаток 2).

Таким образом, существует всего три различных остатка, которые могут получиться при делении любого числа на 3.

Ответ: 3

6. Укажи частное и остаток, которые получатся при делении 32 на 12.

2 (ост. 8)

3 (ост. 4)

Чтобы найти частное и остаток при делении 32 на 12, нужно определить, сколько раз число 12 полностью помещается в числе 32.

Для этого подберем наибольшее число, которое не превышает 32 и делится на 12. Будем умножать 12 на целые числа:

• $12 \times 1 = 12$
• $12 \times 2 = 24$
• $12 \times 3 = 36$

Число 36 уже больше 32, значит, 12 помещается в 32 два полных раза. Следовательно, неполное частное равно 2.

Теперь найдем остаток от деления. Для этого из делимого (32) вычтем произведение делителя (12) на найденное частное (2):

$32 - (12 \times 2) = 32 - 24 = 8$

Остаток равен 8. Остаток всегда должен быть меньше делителя, что в данном случае верно: $8 < 12$.

Таким образом, при делении 32 на 12 получается частное 2 и остаток 8.

Проверка: $2 \times 12 + 8 = 24 + 8 = 32$.

Ответ: частное 2, остаток 8.

7. Укажи частное и остаток, которые получатся при делении 6 на 8.

$6$ (ост. $8$)

$0$ (ост. $6$)

$0$ (ост. $8$)

7.

Чтобы найти частное и остаток при делении числа $a$ на число $b$, нужно найти такие целые числа $q$ (частное) и $r$ (остаток), которые удовлетворяют равенству:
$a = b \cdot q + r$
При этом остаток $r$ должен быть неотрицательным и строго меньше делителя $b$: $0 \le r < b$.

В данном случае нам нужно разделить 6 на 8.
Здесь делимое $a = 6$, а делитель $b = 8$.
Ищем частное $q$ и остаток $r$.

Мы должны найти, сколько раз делитель (8) целиком помещается в делимом (6). Поскольку 6 меньше 8, число 8 не помещается в числе 6 ни одного раза. Это означает, что неполное частное $q$ равно 0.

Теперь найдем остаток $r$, подставив известные значения в формулу:
$6 = 8 \cdot 0 + r$
$6 = 0 + r$
$r = 6$

Проверим, выполняется ли основное условие для остатка: $0 \le r < b$.
$0 \le 6 < 8$.
Условие выполняется, так как 6 — неотрицательное число и меньше 8.

Таким образом, при делении 6 на 8 получается частное 0 и остаток 6. Это соответствует второму варианту ответа.

Ответ: частное 0, остаток 6.

8. Какое число разделили на 8, если получили в частном 4, а в остатке 3?

27 35 43

Чтобы найти искомое число (делимое), нужно делитель умножить на частное и к полученному произведению прибавить остаток. Это можно выразить формулой:

Делимое = (Делитель × Частное) + Остаток

Согласно условию задачи, у нас есть следующие значения:

Делитель = 8
Частное = 4
Остаток = 3

Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:

Искомое число = $(8 \times 4) + 3$

Сначала выполняем умножение:

$8 \times 4 = 32$

Затем к результату прибавляем остаток:

$32 + 3 = 35$

Таким образом, число, которое разделили на 8, – это 35. Проверим: $35 \div 8 = 4$ с остатком 3. Это соответствует условию. Среди предложенных вариантов (27, 35, 43) верным является 35.

Ответ: 35

9* Какое число делится на 9 без остатка, на 8 с остатком 6, а на 7 с остатком 5? 45 18 54

Чтобы найти нужное число, необходимо проверить каждое из предложенных чисел (45, 18, 54) на соответствие трем условиям, указанным в задаче:

1. Число должно делиться на 9 без остатка.
2. При делении числа на 8 должен получаться остаток 6.
3. При делении числа на 7 должен получаться остаток 5.

Проверка числа 45

1. Деление на 9: $45 \div 9 = 5$. Остатка нет. Условие выполняется.

2. Деление на 8: $45 = 8 \times 5 + 5$. Остаток равен 5, а по условию должен быть 6. Условие не выполняется.

Так как одно из условий не выполнено, число 45 не является решением.

Проверка числа 18

1. Деление на 9: $18 \div 9 = 2$. Остатка нет. Условие выполняется.

2. Деление на 8: $18 = 8 \times 2 + 2$. Остаток равен 2, а по условию должен быть 6. Условие не выполняется.

Так как одно из условий не выполнено, число 18 не является решением.

Проверка числа 54

1. Деление на 9: $54 \div 9 = 6$. Остатка нет. Условие выполняется.

2. Деление на 8: $54 = 8 \times 6 + 6$. Остаток равен 6. Условие выполняется.

3. Деление на 7: $54 = 7 \times 7 + 5$. Остаток равен 5. Условие выполняется.

Число 54 удовлетворяет всем трем условиям.

Ответ: 54