Страница 12, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

Вспомним алгоритм письменного деления и будем учиться применять его при вычислениях.

Рассмотри, как выполнено деление 876 на 3.

Объяснение: надо 876 разделить на 3.

Делю сотни: сотен 8.
Разделю 8 на 3. В частном будет 2 сот.
Умножу: 2 · 3 = 6. Разделили 6 сот.
Вычту: 8 − 6 = 2. Осталось разделить 2 сот.
Сравню остаток с делителем: число оставшихся сотен меньше, чем 3; можно продолжать деление.

Делю десятки: 2 сот. и 7 дес. − это 27 дес.
Разделю 27 на 3. В частном будет 9 дес.
Умножу: 9 · 3 = 27.
Разделили 27 дес. Вычту: 27 − 27 = 0. Десятки разделили все.

Продолжи объяснение.

Решение:

Делю сотни: сотен 8. Разделю 8 на 3. В частном будет 2 сотни. Умножу: 2 · 3 = 6. Разделили 6 сотен. Вычитаю: 8 − 6 = 2. Осталось разделить 2 сот. Сравню остаток с делителем: число оставшихся сотен меньше, чем 3; можно продолжать деление. Сотни разделили все.

Делю десятки: 2 сотни и 7 десятков – это 27 десятков. Делю 27 на 3. В частном будет 9 десятков. Умножаю 9 · 3 = 27 десятков. Вычитаю 27 − 27 = 0. Десятки разделили все.

Делю единицы: Разделю 6 на 3. В частном будет 2 единицы. Умножаю 2 · 3 = 6. Вычитаю 6 − 6 = 0. Единицы разделили все. Деление закончено.

Ответ: 292.

Продолжение объяснения деления числа 876 на 3:

Делю единицы: В остатке от деления десятков 0, сносим следующую цифру из делимого — 6. Получаем 6 единиц.
Разделю 6 на 3. В частном будет 2. Записываю 2 в частное на место единиц.
Умножу полученное число единиц в частном на делитель, чтобы узнать, сколько единиц мы разделили: $2 \cdot 3 = 6$.
Вычту это значение из числа единиц, которые мы делили, чтобы найти остаток: $6 - 6 = 0$.
Остаток равен 0. Деление окончено.
Читаю ответ: 292.

Проверим результат умножением: $292 \cdot 3 = (200 + 90 + 2) \cdot 3 = 600 + 270 + 6 = 876$.
$876 = 876$. Деление выполнено верно.

Ответ: 292.

55. Объясни, как разделили 864 на 4, и проверь деление умножением.

55. Решение

Объяснение вычислений:

Делю сотни: сотен 8. Разделю 8 на 4. В частном будет 2 сотни. Умножу: 2 ∙ 4 = 8. Разделили 8 сотен. Вычитаю: 8 − 8 = 0. Сотни разделили все.

Делю десятки: делю 6 на 4. В частном будет 1 десяток. Умножаю 1 ∙ 4 = 4 десятка. Вычитаю 6 − 4 = 2. Осталось разделить 2 десятка. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся десятков меньше, чем 4; можно продолжать деление.

Делю единицы: 2 десятка и 4 единицы – это 24 единицы. Делю 24 на 4. В частном будет 6 единиц. Умножаю 6 ∙ 4 = 24. Вычитаю 24 − 24 = 0. Единицы разделили все. Деление закончено.

Ответ: 216.

Объясни, как разделили 864 на 4

Чтобы разделить 864 на 4, применяется метод деления в столбик. Деление выполняется поразрядно, слева направо (от сотен к единицам).

1. Деление сотен: Начинаем с первой цифры числа 864 — это 8 (восемь сотен). Делим 8 на 4. Получаем 2. Записываем цифру 2 в частное. Чтобы проверить, умножаем $2 \times 4 = 8$. Вычитаем из 8 сотен 8, получаем остаток 0.
2. Деление десятков: Сносим следующую цифру — 6 (шесть десятков). Делим 6 на 4. Ближайшее число к 6, которое делится на 4 без остатка и не превышает 6, это 4. $4 \div 4 = 1$. Записываем цифру 1 в частное. Проверяем: $1 \times 4 = 4$. Вычитаем 4 из 6, получаем остаток 2 (два десятка).
3. Деление единиц: К остатку 2 (два десятка или 20 единиц) сносим последнюю цифру — 4. Получаем число 24. Делим 24 на 4. Получаем 6. Записываем цифру 6 в частное. Проверяем: $6 \times 4 = 24$. Вычитаем 24 из 24, получаем остаток 0.

Соединив цифры, полученные в частном (2, 1 и 6), получаем итоговый результат деления.

Ответ: 216.

Проверь деление умножением

Для проверки правильности выполнения деления необходимо частное умножить на делитель. Если в результате этого умножения получится исходное делимое, значит, деление выполнено верно.

В данном случае:
Частное: 216
Делитель: 4
Делимое: 864

Выполним проверку, умножив частное на делитель: $216 \times 4$.

Это можно сделать в столбик или разложив число 216 на сумму разрядных слагаемых:
$216 \times 4 = (200 + 10 + 6) \times 4 = 200 \times 4 + 10 \times 4 + 6 \times 4 = 800 + 40 + 24 = 864$.

Результат умножения (864) равен исходному делимому (864), следовательно, деление было выполнено правильно.

Ответ: $216 \times 4 = 864$.

56. Выполни деление и проверку.

56. Напомним:

Чтобы выполнить проверку деления, необходимо частное умножить на делитель и смотрим: если получилось делимое - вычисления выполнены верно, если не получилось делимое - в вычислениях допущена ошибка.

Решение:

Объяснение вычислений деления:

748 : 2

Делю сотни: сотен 7. Разделю 7 на 2. В частном будет 3 сотни. Умножу: 3 ∙ 2 = 6. Разделили 6 сотен. Вычитаю: 7 − 6 = 1. Осталось разделить 1 сотню. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся сотен меньше, чем 2; можно продолжать деление.

Делю десятки: 1 сотня и 4 десятка - это 14 десятков. 14 делю на 2. В частном будет 7 десятков. Умножаю 7 ∙ 2 = 14 десятков. Вычитаю 14 − 14 = 0. Десятки разделили все.

Делю единицы: Делю 8 на 2. В частном будет 4 единиц. Умножаю 4 ∙ 2 = 8. Вычитаю 8 − 8 = 0. Единицы разделили все. Деление закончено.

Ответ: 374.

987 : 3

Делю сотни: сотен 9. Разделю 9 на 3. В частном будет 3 сотни. Умножу: 3 ∙ 3 = 9. Разделили 9 сотен. Вычитаю: 9 − 9 = 0. Сотни разделили все.

Делю десятки: Делю 8 на 3. В частном будет 2 десятка. Умножаю 2 ∙ 3 = 6 десятков. Вычитаю 8 − 6 = 2. Осталось 2 десятка. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся сотен меньше, чем 3; можно продолжать деление.

Делю единицы: 2 десятка и 7 единиц – это 27 единиц. Делю 27 на 3. В частном будет 9 единиц. Умножаю 9 ∙ 3 = 27. Вычитаю 27 − 27 = 0. Единицы разделили все. Деление закончено.

Ответ: 329.

648 : 4

Делю сотни: сотен 6. Разделю 6 на 4. В частном будет 1 сотня. Умножу: 1 ∙ 4 = 4. Разделили 4 сотни. Вычитаю: 6 − 4 = 2. Осталось разделить 2 сотни. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся сотен меньше, чем 4; можно продолжать деление.

Делю десятки: 2 сотни и 4 десятка - это 24 десятка. Делю 24 на 4. В частном будет 6 десятков. Умножаю 6 ∙ 4 = 24 десятка. Вычитаю 24 − 24 = 0. Десятки разделили все.

Делю единицы: Делю 8 на 4. В частном будет 2 единицы. Умножаю 2 ∙ 4 = 8. Вычитаю 8 − 8 = 0. Единицы разделили все. Деление закончено.

Ответ: 162.

756 : 6

Делю сотни: сотен 7. Разделю 7 на 6. В частном будет 1 сотня. Умножу: 1 ∙ 6 = 6. Разделили 6 сотен. Вычитаю: 7 − 6 = 1. Осталось разделить 1 сотню. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся сотен меньше, чем 6; можно продолжать деление.

Делю десятки: 1 сотня и 5 десятков - это 15 десятков. 15 делю на 6. В частном будет 2 десятка. Умножаю 2 ∙ 6 = 12 десятков. Вычитаю 15 − 12 = 3. Осталось 3 десятка. Сравниваю остаток с делителем: число оставшихся десятков меньше, чем 6; можно продолжать деление.

Делю единицы: 3 десятка и 6 единиц – это 36 единиц. Делю 36 на 6. В частном будет 6 единиц. Умножаю 6 ∙ 6 = 36. Вычитаю 36 − 36 = 0. Единицы разделили все. Деление закончено.

Ответ: 126.

748 : 2

Выполним деление числа 748 на 2. Деление будем производить столбиком, начиная со старшего разряда (сотни).

1. Делим сотни: $7 \div 2$. Ближайшее меньшее число, которое делится на 2 без остатка, это 6. $6 \div 2 = 3$. Записываем 3 в частное. Находим остаток: $7 - 6 = 1$.

2. К остатку 1 сносим следующую цифру из делимого — 4. Получаем число 14. Делим десятки: $14 \div 2 = 7$. Записываем 7 в частное. Остаток равен 0.

3. Сносим последнюю цифру из делимого — 8. Делим единицы: $8 \div 2 = 4$. Записываем 4 в частное.

Таким образом, получаем: $748 \div 2 = 374$.

Проверка:

Для проверки умножим полученное частное на делитель. Результат должен быть равен исходному делимому.

$374 \times 2 = 748$

Так как $748 = 748$, деление выполнено верно.

Ответ: 374

987 : 3

Выполним деление числа 987 на 3 столбиком.

1. Делим сотни: $9 \div 3 = 3$. Записываем 3 в частное. Остаток 0.

2. Сносим следующую цифру — 8. Делим десятки: $8 \div 3$. Ближайшее меньшее число, которое делится на 3, это 6. $6 \div 3 = 2$. Записываем 2 в частное. Находим остаток: $8 - 6 = 2$.

3. К остатку 2 сносим следующую цифру — 7. Получаем число 27. Делим единицы: $27 \div 3 = 9$. Записываем 9 в частное.

Таким образом, получаем: $987 \div 3 = 329$.

Проверка:

Умножим частное на делитель:

$329 \times 3 = 987$

Так как $987 = 987$, деление выполнено верно.

Ответ: 329

648 : 4

Выполним деление числа 648 на 4 столбиком.

1. Делим сотни: $6 \div 4 = 1$ (остаток $6-4=2$). Записываем 1 в частное.

2. К остатку 2 сносим следующую цифру — 4. Получаем число 24. Делим десятки: $24 \div 4 = 6$. Записываем 6 в частное. Остаток 0.

3. Сносим последнюю цифру — 8. Делим единицы: $8 \div 4 = 2$. Записываем 2 в частное.

Таким образом, получаем: $648 \div 4 = 162$.

Проверка:

Умножим частное на делитель:

$162 \times 4 = 648$

Так как $648 = 648$, деление выполнено верно.

Ответ: 162

756 : 6

Выполним деление числа 756 на 6 столбиком.

1. Делим сотни: $7 \div 6 = 1$ (остаток $7-6=1$). Записываем 1 в частное.

2. К остатку 1 сносим следующую цифру — 5. Получаем число 15. Делим десятки: $15 \div 6 = 2$ (остаток $15 - 12 = 3$). Записываем 2 в частное.

3. К остатку 3 сносим последнюю цифру — 6. Получаем число 36. Делим единицы: $36 \div 6 = 6$. Записываем 6 в частное.

Таким образом, получаем: $756 \div 6 = 126$.

Проверка:

Умножим частное на делитель:

$126 \times 6 = 756$

Так как $756 = 756$, деление выполнено верно.

Ответ: 126

57. Масса ящика с яблоками 12 кг, а масса пустого ящика в 6 раз меньше. Сколько таких ящиков нужно для 100 кг яблок? Объясни, что обозначают выражения: 12 : 6 и 12 − 12 : 6, и закончи решение задачи.

57. Для наглядности сделаем схематический чертёж:

Пояснение: Чтобы узнать, сколько ящиков нужно для 100 кг яблок, нам нужно знать массу яблок в одном ящике. Это число нам неизвестно, но можем его найти из первой строчки условия. Надо от массы ящика с яблоками вычесть массу пустого ящика.

Итак, составим план решения задачи:

1) находим массу пустого ящика,

2) массу яблок в одном ящике

3) сколько ящиков нужно для 100 кг яблок

Решение:

1) 12 : 6 = 2 (кг) – масса пустого ящика.

2) 12 − 2 = 10 (кг) – яблок в этом ящике.

3) 100 : 10 = 10 (ящ.)

Ответ: 10 ящиков нужно для 100 кг яблок

Решение задачи можно записать в виде выражения:

100 : (12 – 12 : 6) = 10 (ящ.)

Ответ: 10 ящиков нужно для 100 кг яблок

Выражение 12 : 6 показывает, сколько килограммов весит пустой ящик (масса пустого ящика).

Выражение 12 – 12 : 6 показывает, сколько килограммов яблок в одном ящике (масса яблок в одном ящике).

Объяснение выражений

Выражение $12 : 6$ обозначает массу пустого ящика. По условию, масса ящика с яблоками равна 12 кг, а масса пустого ящика в 6 раз меньше. Чтобы найти массу пустого ящика, нужно массу полного ящика разделить на 6.

$12 : 6 = 2$ (кг) – это масса пустого ящика.

Выражение $12 - 12 : 6$ обозначает массу яблок в одном ящике. Здесь из общей массы ящика с яблоками (12 кг) вычитается масса пустого ящика ($12 : 6$).

$12 - 12 : 6 = 12 - 2 = 10$ (кг) – это масса яблок в одном ящике.

Ответ: выражение $12 : 6$ обозначает массу пустого ящика, а выражение $12 - 12 : 6$ обозначает массу яблок в одном ящике.

Решение задачи

Чтобы найти, сколько ящиков нужно для 100 кг яблок, необходимо сначала узнать, сколько килограммов яблок помещается в один ящик.

1. Найдем массу пустого ящика:

$12 : 6 = 2$ (кг)

2. Найдем массу яблок в одном ящике:

$12 - 2 = 10$ (кг)

3. Теперь рассчитаем, сколько ящиков потребуется для 100 кг яблок. Для этого общую массу яблок разделим на массу яблок, помещающуюся в один ящик:

$100 : 10 = 10$ (ящиков)

Ответ: для 100 кг яблок потребуется 10 ящиков.

58. Бабушка посадила 20 луковиц тюльпанов, а внучка в 4 раза меньше. После этого у них осталось 10 луковиц. Сколько луковиц тюльпанов у них было сначала?

58. Сделаем краткую запись для наглядности:

Пояснение: Чтобы узнать, сколько было луковиц тюльпанов, нужно сложить все луковицы: что посадила бабушка, что посадила внучка и что остались. Но нам неизвестно, сколько посадила внучка. Значит, сначала найдём это значение. Внучка посадила в 4 раза меньше – в 4 раза меньшее число находим делением. Затем будем складывать все значения.

Решение:

1) 20 : 4 = 5 (л.) – тюльпанов посадила внучка.

2) 20 + 5 = 25 (л.) – посадили они вместе.

3) 25 + 10 = 35 (л.)

Ответ: 35 луковиц тюльпанов было сначала.

Решение задачи можно записать выражением:

20 + 20 : 4 + 10 = 35 (л.)

Ответ: 35 луковиц тюльпанов было сначала.

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо выполнить вычисления в несколько этапов.

1. Сначала определим, сколько луковиц посадила внучка. В условии сказано, что бабушка посадила 20 луковиц, а внучка — в 4 раза меньше. Чтобы найти количество, нужно разделить число луковиц, посаженных бабушкой, на 4.

$20 \div 4 = 5$ (луковиц) — посадила внучка.

2. Далее найдем общее количество посаженных луковиц. Для этого сложим количество луковиц, которые посадила бабушка, и количество луковиц, которые посадила внучка.

$20 + 5 = 25$ (луковиц) — было посажено всего.

3. Наконец, вычислим, сколько всего луковиц было у них изначально. Известно, что после посадки 25 луковиц у них осталось еще 10. Чтобы найти первоначальное количество, нужно сложить посаженные и оставшиеся луковицы.

$25 + 10 = 35$ (луковиц).

Ответ: изначально у них было 35 луковиц тюльпанов.

59. Найди периметр каждого многоугольника в миллиметрах.

59. Напомним:

Периметр – это сумма длин всех сторон многоугольника.

Решение:
Периметр фигуры 1: 15 + 15 + 40 + 28 + 24 = 122 мм.
Периметр фигуры 2: 25 + 37 + 46 = 108 мм.
Периметр фигуры 3: 25 + 25 + 25 + 25 = 25 ∙ 4 = 100 мм.

Для решения задачи предположим, что сторона одной клетки на изображении равна 5 мм, что является стандартом для тетрадей в клетку. Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.

Для сторон, идущих вдоль линий сетки, мы можем просто посчитать количество клеток и умножить на 5 мм. Для диагональных сторон мы определим их длину с помощью теоремы Пифагора, рассматривая сторону как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого образованы линиями сетки. Так как в школьной программе младших классов эта теорема не проходится, предполагается, что ученик измерит такие стороны линейкой. Результаты, полученные вычислением, мы округлим до целого числа миллиметров, как это произошло бы при измерении.

1

Найдем периметр пятиугольника. Все его стороны являются диагональными.

• Первая сторона (сверху справа) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами в 3 и 2 клетки. Её длина в клетках составляет $c_1 = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$. Переведем в миллиметры: $L_1 = 5 \times \sqrt{13} = \sqrt{25 \times 13} = \sqrt{325}$. Так как $18^2 = 324$, длина этой стороны почти точно равна 18 мм.
• Вторая сторона (справа) образует треугольник с катетами в 1 и 2 клетки. Её длина в клетках: $c_2 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$. Длина в миллиметрах: $L_2 = 5 \times \sqrt{5} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{125}$. Так как $11^2 = 121$, длина этой стороны очень близка к 11 мм ($ \approx 11,2$ мм). Округляем до 11 мм.
• Третья сторона (снизу справа) образует треугольник с катетами в 2 и 1 клетку. Её длина, как и у второй стороны, составляет $\sqrt{5}$ клеток. Длина в миллиметрах: $L_3 \approx 11$ мм.
• Четвертая сторона (снизу слева) образует треугольник с катетами в 3 и 1 клетку. Её длина в клетках: $c_4 = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$. Длина в миллиметрах: $L_4 = 5 \times \sqrt{10} = \sqrt{25 \times 10} = \sqrt{250}$. Так как $16^2 = 256$, длина стороны близка к 16 мм ($ \approx 15,8$ мм). Округляем до 16 мм.
• Пятая сторона (слева) образует треугольник с катетами в 1 и 4 клетки. Её длина в клетках: $c_5 = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}$. Длина в миллиметрах: $L_5 = 5 \times \sqrt{17} = \sqrt{25 \times 17} = \sqrt{425}$. Так как $20^2=400$ и $21^2=441$, длина стороны близка к 20,6 мм. Округляем до 21 мм.

Сложим длины всех сторон, чтобы найти периметр: $P_1 \approx 18 + 11 + 11 + 16 + 21 = 77$ мм.

Ответ: периметр первого многоугольника примерно равен 77 мм.

2

Найдем периметр треугольника. У него одна сторона горизонтальная и две диагональные.

• Нижняя сторона (основание) имеет длину 4 клетки. Её длина в миллиметрах: $L_1 = 4 \times 5 = 20$ мм.
• Две боковые стороны равны между собой. Каждая из них является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами в 2 и 4 клетки. Длина боковой стороны в клетках: $c_2 = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$. Длина в миллиметрах: $L_2 = 5 \times \sqrt{20} = \sqrt{25 \times 20} = \sqrt{500}$. Так как $22^2=484$ и $23^2=529$, длина стороны близка к 22,4 мм. Округляем до 22 мм.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: $P_2 \approx 20 + 22 + 22 = 64$ мм.

Ответ: периметр второго многоугольника примерно равен 64 мм.

3

Найдем периметр квадрата. Все его стороны лежат на линиях сетки.

• Длина одной стороны квадрата равна 3 клеткам. Её длина в миллиметрах: $L = 3 \times 5 = 15$ мм.
• У квадрата 4 равные стороны, поэтому его периметр равен: $P_3 = 4 \times L = 4 \times 15 = 60$ мм.

Ответ: периметр третьего многоугольника равен 60 мм.

60.

60. Напомним порядок действий в выражениях:

При вычислении числовых выражений сначала выполняют действия умножения и деления, а затем сложения и вычитания слева направо. При наличии скобок вычисляют сначала значение выражения в них.

Если выражение содержит несколько пар скобок, то сначала находят значения выражений в скобках (слева направо), а затем выполняют действия по первым двум правилам.

300 - (90 + 70) + (86 - 46)
Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, а затем вычитание и сложение слева направо.
1. Выполняем сложение в первых скобках: $90 + 70 = 160$.
2. Выполняем вычитание во вторых скобках: $86 - 46 = 40$.
3. Подставляем полученные значения в исходное выражение: $300 - 160 + 40$.
4. Выполняем вычитание: $300 - 160 = 140$.
5. Выполняем сложение: $140 + 40 = 180$.
Ответ: 180

90 : (10 ? 9) : (9 : 9)
Решаем по порядку действий. Сначала вычисления в скобках, затем деление слева направо.
1. Выполняем действие в первых скобках: $10 \cdot 9 = 90$.
2. Выполняем действие во вторых скобках: $9 : 9 = 1$.
3. Подставляем значения в выражение: $90 : 90 : 1$.
4. Выполняем первое деление: $90 : 90 = 1$.
5. Выполняем второе деление: $1 : 1 = 1$.
Ответ: 1

0 ? 8 + 7
Согласно порядку арифметических операций, сначала выполняется умножение, а затем сложение.
1. Умножение: $0 \cdot 8 = 0$.
2. Сложение: $0 + 7 = 7$.
Ответ: 7

0 ? (8 + 7)
В этом выражении сначала выполняется действие в скобках, а затем умножение.
1. Сложение в скобках: $8 + 7 = 15$.
2. Умножение: $0 \cdot 15 = 0$.
Ответ: 0

91 : 13 ? 7
В выражении без скобок умножение и деление выполняются в порядке их следования, слева направо.
1. Деление: $91 : 13 = 7$.
2. Умножение: $7 \cdot 7 = 49$.
Ответ: 49

84 : (14 ? 3)
Сначала необходимо выполнить действие в скобках, а затем деление.
1. Умножение в скобках: $14 \cdot 3 = 42$.
2. Деление: $84 : 42 = 2$.
Ответ: 2

Вычисли.

771 : 3 678 : 6

771 : 3

Для решения этого примера воспользуемся методом деления в столбик.
1. Первое неполное делимое — 7 (сотни). Делим 7 на 3. В частном будет 2. Умножаем $2 \times 3 = 6$. Вычитаем из 7, получаем остаток 1.
2. Сносим следующую цифру 7. Получаем 17 (десятки). Делим 17 на 3. В частном будет 5. Умножаем $5 \times 3 = 15$. Вычитаем из 17, получаем остаток 2.
3. Сносим следующую цифру 1. Получаем 21 (единицы). Делим 21 на 3. В частном будет 7. Умножаем $7 \times 3 = 21$. Вычитаем из 21, получаем остаток 0.
Деление завершено.

Таким образом, $771 : 3 = 257$.

Проверка: $257 \times 3 = 771$.

Ответ: 257

678 : 6

Для решения этого примера также воспользуемся методом деления в столбик.
1. Первое неполное делимое — 6 (сотни). Делим 6 на 6. В частном будет 1. Умножаем $1 \times 6 = 6$. Вычитаем из 6, получаем остаток 0.
2. Сносим следующую цифру 7. Получаем 7 (десятки). Делим 7 на 6. В частном будет 1. Умножаем $1 \times 6 = 6$. Вычитаем из 7, получаем остаток 1.
3. Сносим следующую цифру 8. Получаем 18 (единицы). Делим 18 на 6. В частном будет 3. Умножаем $3 \times 6 = 18$. Вычитаем из 18, получаем остаток 0.
Деление завершено.

Таким образом, $678 : 6 = 113$.

Проверка: $113 \times 6 = 678$.

Ответ: 113

Объясни, как подсчитали разными способами, сколько всего рублей составляют эти моменты.

5 · (4 · 2) = 40
(5 · 4) · 2 = 40
(5 · 2) · 4 = 40

Умножить число на произведение можно разными способами.
1) 6 · (3 · 4) = 6 · 12 = 72.
Вычислить число на первый множитель и результат умножить на второй множитель.
2) 6 · (3 · 4) = (6 · 3) · 4 = 18 · 4 = 72.
Умножить число на первый множитель и результат умножить на второй множитель.
3) 6 · (3 · 4) = (6 · 4) · 3 = 24 · 3 = 72.
Умножить число на второй множитель и результат умножить на первый множитель.

На изображении показано 8 монет номиналом 5 рублей. Они расположены в виде прямоугольника: 2 ряда по 4 монеты в каждом (или 4 столбца по 2 монеты). Общую сумму можно посчитать тремя разными способами, используя сочетательное свойство умножения: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученный результат — на второй, или наоборот.

5 ? (4 ? 2) = 40
Этот способ заключается в том, чтобы сначала найти общее количество монет, а затем умножить его на номинал одной монеты.
1. Сначала вычисляем произведение в скобках, чтобы найти общее количество монет: 4 монеты в ряду умножаем на 2 ряда. $4 \cdot 2 = 8$ (монет).
2. Затем номинал одной монеты (5 рублей) умножаем на общее количество монет (8). $5 \cdot 8 = 40$ (рублей).
Ответ: 40.

(5 ? 4) ? 2 = 40
Этот способ заключается в том, чтобы сначала найти общую стоимость монет в одном ряду, а затем умножить ее на количество рядов.
1. Сначала вычисляем в скобках общую стоимость одного ряда: номинал монеты (5 рублей) умножаем на количество монет в ряду (4). $5 \cdot 4 = 20$ (рублей в одном ряду).
2. Затем полученную сумму умножаем на количество рядов (2). $20 \cdot 2 = 40$ (рублей).
Ответ: 40.

(5 ? 2) ? 4 = 40
Этот способ заключается в том, чтобы сначала найти общую стоимость монет в одном столбце, а затем умножить ее на количество столбцов.
1. Сначала вычисляем в скобках общую стоимость одного столбца: номинал монеты (5 рублей) умножаем на количество монет в столбце (2). $5 \cdot 2 = 10$ (рублей в одном столбце).
2. Затем полученную сумму умножаем на количество столбцов (4). $10 \cdot 4 = 40$ (рублей).
Ответ: 40.

36. Вычисли. Сравни способы вычислений и результаты.

$7 \cdot (2 \cdot 5) = 7 \cdot 10 = \square$

В данном примере сначала выполняется умножение в скобках: $2 \cdot 5 = 10$. Затем результат умножается на 7. Выполняем вычисление: $7 \cdot 10 = 70$.

Ответ: 70

$7 \cdot (2 \cdot 5) = (7 \cdot 2) \cdot 5 = \square$

Здесь используется сочетательное свойство умножения, которое позволяет перегруппировать множители. Сначала вычисляем произведение в новых скобках: $7 \cdot 2 = 14$. Затем результат умножаем на 5: $14 \cdot 5 = 70$.

Ответ: 70

$7 \cdot (2 \cdot 5) = (7 \cdot 5) \cdot 2 = \square$

В этом примере множители также перегруппированы с использованием сочетательного и переместительного свойств. Сначала вычисляем произведение в скобках: $7 \cdot 5 = 35$. Затем результат умножаем на 2: $35 \cdot 2 = 70$.

Ответ: 70

$4 \cdot (5 \cdot 3) = 4 \cdot 15 = \square$

Сначала вычисляем произведение в скобках: $5 \cdot 3 = 15$. Затем результат умножаем на 4. Выполняем вычисление: $4 \cdot 15 = 60$.

Ответ: 60

$4 \cdot (5 \cdot 3) = (4 \cdot 5) \cdot 3 = \square$

Применяем сочетательное свойство умножения. Сначала вычисляем произведение в скобках: $4 \cdot 5 = 20$. Затем результат умножаем на 3: $20 \cdot 3 = 60$. Этот способ может быть удобнее для устного счета.

Ответ: 60

$4 \cdot (5 \cdot 3) = (4 \cdot 3) \cdot 5 = \square$

Здесь множители также перегруппированы. Сначала вычисляем произведение в скобках: $4 \cdot 3 = 12$. Затем результат умножаем на 5: $12 \cdot 5 = 60$.

Ответ: 60

Сравнение способов вычислений и результатов

Способы вычислений: В задании показано, что произведение трех чисел можно вычислять, группируя множители по-разному. Это возможно благодаря сочетательному свойству умножения: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Также в некоторых примерах используется переместительное свойство ($a \cdot b = b \cdot a$), чтобы поменять множители местами для удобства. Разные способы группировки могут облегчить устный счет. Например, $(4 \cdot 5) \cdot 3 = 20 \cdot 3$ считать легче, чем $4 \cdot 15$.

Результаты: Во всех случаях результат в рамках одной группы примеров одинаков. Для первой группы ответ всегда 70, для второй — 60. Это доказывает, что результат умножения не зависит от того, как сгруппированы множители.

36. Вычисли результат удобным способом.

2 · (5 · 7) 29 · (2 · 5) 35 · (2 · 7) 17 · (4 · 10)

12 · (5 · 7)
Для удобства вычислений применим сочетательное свойство умножения $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ и перегруппируем множители. Удобнее умножить 12 на 5, так как в результате получится круглое число.
$12 \cdot (5 \cdot 7) = (12 \cdot 5) \cdot 7$
1. Вычислим произведение в новых скобках: $12 \cdot 5 = 60$.
2. Умножим полученный результат на 7: $60 \cdot 7 = 420$.
Ответ: 420

29 · (2 · 5)
В данном выражении удобно сначала вычислить произведение в скобках, так как в результате получится круглое число 10, на которое очень легко умножать.
1. Вычислим произведение в скобках: $2 \cdot 5 = 10$.
2. Умножим 29 на полученный результат: $29 \cdot 10 = 290$.
Ответ: 290

35 · (2 · 7)
Используем сочетательное свойство умножения и изменим порядок действий для удобства. Сгруппируем 35 и 2, так как их произведение — круглое число.
$35 \cdot (2 \cdot 7) = (35 \cdot 2) \cdot 7$
1. Вычислим произведение в новых скобках: $35 \cdot 2 = 70$.
2. Умножим результат на 7: $70 \cdot 7 = 490$.
Ответ: 490

17 · (4 · 10)
В этом выражении удобно сначала выполнить умножение в скобках, чтобы получить число, оканчивающееся на ноль, что упростит дальнейшие вычисления.
1. Вычислим произведение в скобках: $4 \cdot 10 = 40$.
2. Умножим 17 на полученный результат: $17 \cdot 40$.
Чтобы найти $17 \cdot 40$, можно $17$ умножить на $4$ и результат умножить на $10$.
$17 \cdot 4 = 68$
$68 \cdot 10 = 680$
Ответ: 680

37. В цветочном хозяйстве в каждом парнике ежедневно срезают по 28 роз. Сколько роз могут срезать в 10 парниках этого хозяйства за 5 дней, если количество срезанных в день роз не изменяется? Сколькими способами можно решить эту задачу?

Сколько роз могут срезать в 10 парниках этого хозяйства за 5 дней, если количество срезанных в день роз не изменяется?

Чтобы найти общее количество срезанных роз, нужно перемножить количество роз, срезаемых в одном парнике ежедневно (28), на количество парников (10) и на количество дней (5).

Запишем вычисление в виде одного выражения:

$28 \times 10 \times 5 = 280 \times 5 = 1400$ (роз)

Ответ: за 5 дней в 10 парниках могут срезать 1400 роз.

Сколькими способами можно решить эту задачу?

Эту задачу можно решить тремя способами, изменяя порядок действий. Это возможно благодаря сочетательному свойству умножения, согласно которому результат умножения трех и более чисел не зависит от порядка, в котором выполняются операции.

Способ 1. Сначала находим, сколько всего роз срезают в 10 парниках за один день, а затем умножаем это количество на 5 дней.

1) $28 \times 10 = 280$ (роз) — срезают в десяти парниках за один день.
2) $280 \times 5 = 1400$ (роз) — срезают в десяти парниках за пять дней.

Способ 2. Сначала находим, сколько роз срезают в одном парнике за 5 дней, а затем умножаем полученное количество на 10 парников.

1) $28 \times 5 = 140$ (роз) — срезают в одном парнике за пять дней.
2) $140 \times 10 = 1400$ (роз) — срезают в десяти парниках за пять дней.

Способ 3. Сначала находим общее количество «парко-дней» за весь период, а затем умножаем его на количество роз, срезаемых в одном парнике ежедневно.

1) $10 \times 5 = 50$ (парко-дней) — общее количество учетных единиц работы.
2) $50 \times 28 = 1400$ (роз) — общее количество срезанных роз.

Ответ: задачу можно решить тремя способами.

38. С поля вывозили овощи на 10 машинах. Каждая из этих машин делала по 8 рейсов в день и вывозила по 5 т овощей за один рейс. Сколько тонн овощей вывезли эти машины за 6 дней?

Для решения данной задачи необходимо найти общее количество овощей, которое вывезли все машины за указанный период. Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Найдем, сколько тонн овощей вывозит одна машина за один день.

Каждая машина совершает 8 рейсов в день и за каждый рейс перевозит 5 тонн овощей. Чтобы найти, сколько тонн овощей перевозит одна машина за день, умножим количество рейсов на массу груза за один рейс:

$8 \text{ рейсов} \times 5 \text{ тонн} = 40 \text{ тонн}$

Таким образом, одна машина за день вывозит 40 тонн овощей.

2. Найдем, сколько тонн овощей вывозят все 10 машин за один день.

Всего на поле работало 10 машин. Чтобы найти их общую производительность за день, умножим количество овощей, вывозимое одной машиной, на общее количество машин:

$40 \text{ тонн} \times 10 \text{ машин} = 400 \text{ тонн}$

За один день все машины вывозят 400 тонн овощей.

3. Найдем, сколько тонн овощей вывезли все машины за 6 дней.

Теперь, зная, что за один день все машины вывозят 400 тонн, мы можем рассчитать общее количество овощей, вывезенное за 6 дней. Для этого умножим дневную норму на количество дней:

$400 \text{ тонн} \times 6 \text{ дней} = 2400 \text{ тонн}$

Также эту задачу можно решить одним выражением, перемножив все данные:

$10 \text{ машин} \times 8 \text{ рейсов/день} \times 5 \text{ тонн/рейс} \times 6 \text{ дней} = 2400 \text{ тонн}$

Ответ: 2400 тонн.

39.

521 600 : 8
Для решения данного примера выполним деление столбиком. Это можно представить в виде следующих шагов:
1. Делим первую значащую группу цифр, $52$, на $8$. Получаем $6$ и $4$ в остатке ($52 = 8 \cdot 6 + 4$). Первая цифра ответа - $6$.
2. К остатку $4$ сносим следующую цифру $1$, получаем $41$. Делим $41$ на $8$. Получаем $5$ и $1$ в остатке ($41 = 8 \cdot 5 + 1$). Вторая цифра ответа - $5$.
3. К остатку $1$ сносим следующую цифру $6$, получаем $16$. Делим $16$ на $8$. Получаем $2$ без остатка ($16 = 8 \cdot 2$). Третья цифра ответа - $2$.
4. Оставшиеся два нуля из делимого ($521 600$) переносим в конец частного.
В результате получаем: $521 600 : 8 = 65 200$.
Ответ: 65200

102 018 : 6
Выполним деление по шагам:
1. Делим $10$ на $6$. Получаем $1$ и $4$ в остатке ($10 = 6 \cdot 1 + 4$). Первая цифра ответа - $1$.
2. К остатку $4$ сносим $2$, получаем $42$. Делим $42$ на $6$. Получаем $7$ без остатка ($42 = 6 \cdot 7$). Вторая цифра ответа - $7$.
3. Сносим $0$. Делим $0$ на $6$. Получаем $0$. Третья цифра ответа - $0$.
4. Сносим $1$. Делим $1$ на $6$. Получаем $0$ и $1$ в остатке. Четвертая цифра ответа - $0$.
5. К остатку $1$ сносим $8$, получаем $18$. Делим $18$ на $6$. Получаем $3$ без остатка ($18 = 6 \cdot 3$). Пятая цифра ответа - $3$.
В результате получаем: $102 018 : 6 = 17 003$.
Ответ: 17003

2 907 · 3 · 10 + 5 403
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняем умножение слева направо, а затем сложение.
1. Первое действие – умножение: $2 907 \cdot 3 = 8 721$.
2. Второе действие – умножение: $8 721 \cdot 10 = 87 210$.
3. Третье действие – сложение: $87 210 + 5 403 = 92 613$.
Ответ: 92613

780 · 5 · 100 - 20 471
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняем умножение слева направо, а затем вычитание.
1. Первое действие – умножение: $780 \cdot 5 = 3 900$.
2. Второе действие – умножение: $3 900 \cdot 100 = 390 000$.
3. Третье действие – вычитание: $390 000 - 20 471 = 369 529$.
Ответ: 369529

40 200 : 6
Выполним деление по шагам:
1. Делим $40$ на $6$. Получаем $6$ и $4$ в остатке ($40 = 6 \cdot 6 + 4$). Первая цифра ответа - $6$.
2. К остатку $4$ сносим $2$, получаем $42$. Делим $42$ на $6$. Получаем $7$ без остатка ($42 = 6 \cdot 7$). Вторая цифра ответа - $7$.
3. Оставшиеся два нуля из делимого ($40 200$) переносим в конец частного.
В результате получаем: $40 200 : 6 = 6 700$.
Ответ: 6700

36 040 : 5
Выполним деление по шагам:
1. Делим $36$ на $5$. Получаем $7$ и $1$ в остатке ($36 = 5 \cdot 7 + 1$). Первая цифра ответа - $7$.
2. К остатку $1$ сносим $0$, получаем $10$. Делим $10$ на $5$. Получаем $2$ без остатка ($10 = 5 \cdot 2$). Вторая цифра ответа - $2$.
3. Сносим $4$. Делим $4$ на $5$. Получаем $0$ и $4$ в остатке. Третья цифра ответа - $0$.
4. К остатку $4$ сносим $0$, получаем $40$. Делим $40$ на $5$. Получаем $8$ без остатка ($40 = 5 \cdot 8$). Четвертая цифра ответа - $8$.
В результате получаем: $36 040 : 5 = 7 208$.
Ответ: 7208

РЕБУС:

Для решения этого математического ребуса необходимо восстановить недостающие цифры в примере на умножение, записанном в столбик: $64* \times 7 = 4**8$. Решение будем проводить пошагово, выполняя умножение справа налево.

1. Определение последней цифры первого множителя

Начнем с разряда единиц. Произведение последней цифры первого множителя (обозначенной звездочкой) на 7 должно давать число, которое оканчивается на 8. Проверим таблицу умножения на 7, чтобы найти подходящую цифру:

• $0 \times 7 = 0$
• $1 \times 7 = 7$
• $2 \times 7 = 14$
• $3 \times 7 = 21$
• $4 \times 7 = 28$ — этот вариант подходит, так как результат оканчивается на 8.
• $5 \times 7 = 35$
• $6 \times 7 = 42$
• $7 \times 7 = 49$
• $8 \times 7 = 56$
• $9 \times 7 = 63$

Единственная подходящая цифра — это 4. Таким образом, первый множитель равен 644. При умножении $4 \times 7 = 28$ мы записываем 8 в разряд единиц результата, а 2 переносим в следующий разряд (десятки).

2. Определение цифры десятков в результате

Теперь рассмотрим разряд десятков. Умножаем цифру десятков первого множителя (4) на 7 и прибавляем 2, которые мы перенесли с предыдущего шага: $4 \times 7 + 2 = 28 + 2 = 30$. В результат на место десятков записываем 0, а 3 переносим в следующий разряд (сотни).

3. Определение цифры сотен в результате

Наконец, рассмотрим разряд сотен. Умножаем цифру сотен первого множителя (6) на 7 и прибавляем 3 из переноса: $6 \times 7 + 3 = 42 + 3 = 45$. Записываем число 45 в оставшиеся старшие разряды результата. Первая цифра 4 совпадает с цифрой в условии, значит, недостающая цифра в разряде сотен результата — это 5.

В итоге мы получаем полностью решенный пример:

 644× 7----- 4508 

Проверка: $644 \times 7 = 4508$. Решение верное.

Ответ: $644 \times 7 = 4508$.

9 · (4 · 25) 15 · (4 · 9) 11 · (10 · 3) 10 · (29 · 2)

$9 \cdot (4 \cdot 25)$

Для решения этого выражения следуем порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполним действие в скобках, а затем умножение.

1. Вычислим произведение в скобках: $4 \cdot 25 = 100$.

2. Умножим число 9 на результат, полученный в скобках: $9 \cdot 100 = 900$.

Ответ: 900.

$15 \cdot (4 \cdot 9)$

В этом примере для удобства вычислений можно воспользоваться сочетательным свойством умножения, которое гласит, что $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Это позволяет нам изменить порядок вычислений.

1. Сгруппируем множители иначе: $15 \cdot (4 \cdot 9) = (15 \cdot 4) \cdot 9$.

2. Теперь вычислим произведение в новых скобках: $15 \cdot 4 = 60$.

3. Умножим полученный результат на оставшийся множитель: $60 \cdot 9 = 540$.

Ответ: 540.

$11 \cdot (10 \cdot 3)$

Решим данное выражение, строго следуя порядку действий: сначала выполняем операцию в скобках.

1. Выполним умножение в скобках: $10 \cdot 3 = 30$.

2. Умножим 11 на результат, полученный в скобках: $11 \cdot 30 = 330$.

Ответ: 330.

$10 \cdot (29 \cdot 2)$

Данное выражение можно решить, следуя стандартному порядку действий.

1. Вычислим произведение в скобках: $29 \cdot 2 = 58$.

2. Умножим 10 на полученный результат: $10 \cdot 58 = 580$.

Также для упрощения вычислений можно было применить сочетательное свойство умножения: $10 \cdot (29 \cdot 2) = (10 \cdot 2) \cdot 29 = 20 \cdot 29 = 580$. Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 580.