Страница 19 - гдз по математике 4 класс тетрадь учебных достижений Волкова

8*. $$\begin{array}{r}\square 3 \square \\\times 4 \\\hline9 \square 4\end{array}$$

Для решения этой задачи, представим недостающие цифры в виде букв. Исходный пример можно записать так:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & A & 3 & B \\ \times & & & 4 \\ \hline & 9 & C & 4 \\ \end{array} $

Будем восстанавливать цифры, выполняя умножение в столбик справа налево, от единиц к сотням.

1. Нахождение цифры в разряде единиц (B)

При умножении последней цифры первого числа (B) на 4, результат должен оканчиваться на 4. Проверим таблицу умножения на 4. Результат оканчивается на 4 в двух случаях: $1 \times 4 = 4$ и $6 \times 4 = 24$. Следовательно, цифра B может быть либо 1, либо 6. Рассмотрим оба этих варианта.

Вариант 1: Цифра B равна 1

Предположим, что B = 1. Тогда пример выглядит так: A31 × 4.

1. Умножаем единицы: $1 \times 4 = 4$. Записываем 4 в разряд единиц ответа. Переноса в следующий разряд нет (0 в уме).

2. Умножаем десятки: $3 \times 4 = 12$. Записываем 2 в разряд десятков ответа (значит, C = 2) и 1 переносим в следующий разряд (1 в уме).

3. Умножаем сотни: $A \times 4$. К результату нужно прибавить 1 (из переноса), и должно получиться 9. Получаем уравнение: $A \times 4 + 1 = 9$.

Решаем уравнение: $A \times 4 = 9 - 1$, $A \times 4 = 8$, $A = 8 \div 4 = 2$.

Итак, в первом варианте мы получили, что A=2, B=1, C=2. Выполним проверку:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & 2 & 3 & 1 \\ \times & & & 4 \\ \hline & 9 & 2 & 4 \\ \end{array} $

Решение верное.

Ответ: 231 × 4 = 924.

Вариант 2: Цифра B равна 6

Теперь предположим, что B = 6. Пример: A36 × 4.

1. Умножаем единицы: $6 \times 4 = 24$. Записываем 4 в разряд единиц ответа и 2 переносим в следующий разряд (2 в уме).

2. Умножаем десятки: $3 \times 4 = 12$. Прибавляем 2 из переноса: $12 + 2 = 14$. Записываем 4 в разряд десятков ответа (значит, C = 4) и 1 переносим в следующий разряд (1 в уме).

3. Умножаем сотни: $A \times 4$. К результату нужно прибавить 1 (из переноса), и должно получиться 9. Получаем то же самое уравнение: $A \times 4 + 1 = 9$.

Решаем уравнение: $A \times 4 = 8$, $A = 2$.

Во втором варианте мы получили, что A=2, B=6, C=4. Выполним проверку:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & 2 & 3 & 6 \\ \times & & & 4 \\ \hline & 9 & 4 & 4 \\ \end{array} $

Это решение также верное.

Ответ: 236 × 4 = 944.

9*. $ \begin{array}{r@{}r | l} & \Box\Box\Box 7 & 7 \\ \cline{3-3} - & \Box\Box & 1\Box 2 \\ \cline{2-2} & 8\Box \\ - & \Box\Box \\ \cline{2-2} & \Box \\ \end{array} $

Для решения этой задачи по восстановлению примера на деление в столбик, обозначим делимое как $ABC$, делитель равен $7$, а частное — $1E2$.

1. Анализ первого шага деления.

Первая цифра частного равна $1$. Это означает, что при делении первой части делимого на $7$ получается $1$ с остатком. Возможны два варианта:

• Делится первая цифра делимого $A$. Тогда $A$ должно быть $7, 8$ или $9$. При делении на $7$ получается $1$.
• Делятся первые две цифры $AB$. Это происходит, если $A < 7$. Тогда $AB$ при делении на $7$ дает $1$ с остатком, то есть $7 \le AB < 14$.

В примере после первого вычитания стоит число $8$. Это число является остатком от первого деления. Разберем оба варианта:

• Если мы делим $AB$ на $7$, то вычитаемое равно $1 \cdot 7 = 7$. Остаток равен $AB - 7$. По условию, остаток равен $8$. Тогда $AB - 7 = 8$, откуда $AB = 15$. Но если $AB=15$, то $15 \div 7 = 2$ (ост. $1$). Первая цифра частного была бы $2$, а не $1$. Этот вариант не подходит.

• Следовательно, мы делим первую цифру $A$ на $7$. Вычитаемое равно $1 \cdot 7 = 7$. Остаток равен $R_1 = A - 7$. После этого сносится следующая цифра $B$, и получается число $R_1B$ (составленное из цифр $R_1$ и $B$). В примере на месте этого числа стоит $8$. Значит, $R_1B = 8$. Так как $R_1$ — это первая цифра числа $8$, то $R_1$ не может быть равно нулю (если только $B=8$ и $R_1=0$). Проверим возможные значения $A$:

  • Если $A=7$, то остаток $R_1 = 7-7=0$. Сносим $B$. Число для деления — $0B$, то есть просто $B$. Чтобы это число было равно $8$, $B$ должно быть равно $8$. Этот вариант подходит.
  • Если $A=8$, то остаток $R_1 = 8-7=1$. Сносим $B$. Число для деления — $1B$. Это число не может быть равно $8$.
  • Если $A=9$, то остаток $R_1 = 9-7=2$. Сносим $B$. Число для деления — $2B$. Это число не может быть равно $8$.

Таким образом, мы однозначно определили, что первые две цифры делимого: $A=7, B=8$. Делимое — $78C$.

2. Анализ второго шага деления.

На втором шаге мы делим $8$ на $7$.

$8 \div 7 = 1$ (ост. $1$).

Это означает, что вторая цифра частного $E$ равна $1$. Частное целиком — $112$. Вычитаемое на этом шаге равно $1 \cdot 7 = 7$. Остаток — $1$.

3. Анализ третьего шага деления.

К остатку $1$ сносим последнюю цифру делимого $C$. Получаем число $1C$.

Последняя цифра частного равна $2$. Значит, мы делим $1C$ на $7$ и получаем $2$.

Вычитаемое на этом шаге равно $2 \cdot 7 = 14$.

В примере показано, что из двузначного числа вычитают другое двузначное число, и в остатке получается однозначное число. Вычитаемое равно $14$. Значит, число $1C$ должно быть равно $14$, чтобы в результате вычитания $14 - 14$ получился остаток $0$ (что соответствует последнему пустому квадрату внизу).

Если $1C = 14$, то $C = 4$.

4. Итог.

Мы восстановили все цифры:

• Делимое: $784$
• Делитель: $7$
• Частное: $112$

Проверим деление в столбик:

_784 | 7 7 |--- --- |112 _8 7 -- _14 14 -- 0

Все числа соответствуют пустым квадратам в исходном задании.

Ответ: $784 \div 7 = 112$.

10. Не вычисляя, сравни значения выражений. Поставь нужный знак сравнения.

$6300 - 300 : 5$ $(6300 - 300) : 5$

Чтобы сравнить значения выражений, не выполняя полных вычислений, необходимо проанализировать порядок действий, установленный правилами математики и скобками.

Анализ левого выражения: $6\ 300 - 300 : 5$

В этом выражении, согласно порядку выполнения действий, сначала выполняется деление, а затем вычитание. Таким образом, из числа $6\ 300$ вычитается результат деления $300$ на $5$. Уменьшаемым является большое число $6\ 300$.

Анализ правого выражения: $(6\ 300 - 300) : 5$

Наличие скобок указывает, что сначала нужно выполнить действие в них, то есть вычитание $6\ 300 - 300$. Затем полученный результат (разность) делится на $5$. Это означает, что мы сначала уменьшаем число $6\ 300$, а затем делим его на $5$. Это выражение можно представить, используя распределительное свойство деления: $6\ 300 : 5 - 300 : 5$. Здесь уменьшаемым является число $6\ 300$, делённое на $5$.

Сравнение

Теперь сравним два выражения:

• Левое выражение: $6\ 300 - (300 : 5)$
• Правое выражение: $(6\ 300 : 5) - (300 : 5)$

В обоих случаях вычитаемое одинаково: $300 : 5$. Однако уменьшаемые разные: в первом случае это $6\ 300$, а во втором — $6\ 300 : 5$.

Поскольку $6\ 300$ — это целое число, а $6\ 300 : 5$ — это то же число, но уменьшенное в 5 раз, очевидно, что $6\ 300 > 6\ 300 : 5$.

Если из большего числа вычесть то же самое значение, что и из меньшего, то результат будет больше. Следовательно, значение первого выражения больше значения второго.

Ответ: $6\ 300 - 300 : 5 > (6\ 300 - 300) : 5$

1. Выполни умножение.

1) $1406 \cdot 4 = $

2) $5800 \cdot 3 = $

1) Для того чтобы найти произведение чисел 1406 и 4, выполним умножение в столбик.

$ \begin{array}{r} \times \\ \\ \end{array} \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & 1 & 4 & 0 & 6 \\ & & & & 4 \\ \hline & 5 & 6 & 2 & 4 \\ \end{array} $

1. Умножаем единицы: $6 \cdot 4 = 24$. 4 пишем в разряд единиц, а 2 (десятка) запоминаем.

2. Умножаем десятки: $0 \cdot 4 = 0$. Прибавляем 2, которые запомнили: $0 + 2 = 2$. Пишем 2 в разряд десятков.

3. Умножаем сотни: $4 \cdot 4 = 16$. 6 пишем в разряд сотен, а 1 (тысячу) запоминаем.

4. Умножаем тысячи: $1 \cdot 4 = 4$. Прибавляем 1, который запомнили: $4 + 1 = 5$. Пишем 5 в разряд тысяч.

Результат умножения равен 5624.

Ответ: 5624

2) Для того чтобы найти произведение чисел 5800 и 3, можно умножить 58 на 3, а затем к полученному результату приписать два нуля.

1. Умножим 58 на 3:

$58 \cdot 3 = (50 + 8) \cdot 3 = 50 \cdot 3 + 8 \cdot 3 = 150 + 24 = 174$.

2. Теперь к результату 174 припишем справа два нуля, которые были в числе 5800.

Получаем 17400.

Или умножим в столбик:

$ \begin{array}{r} \times \\ \\ \end{array} \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & 5 & 8 & 0 & 0 \\ & & & & 3 \\ \hline 1 & 7 & 4 & 0 & 0 \\ \end{array} $

Результат умножения равен 17400.

Ответ: 17400

2. Выполни деление.

1) $1824 : 3 = $

2) $11060 : 7 = $

1) 1 824 : 3 =

Для решения этого примера выполним деление столбиком.

1. Первое неполное делимое — $18$ (сотни). Делим $18$ на $3$, получаем $6$. Записываем $6$ в частное. Умножаем $6$ на $3$, получаем $18$. Вычитаем $18$ из $18$, получаем $0$.
2. Сносим следующую цифру — $2$ (десятки). $2$ меньше, чем $3$, поэтому при делении $2$ на $3$ в частное записываем $0$.
3. К остатку $2$ сносим следующую цифру — $4$. Получаем число $24$ (единицы). Делим $24$ на $3$, получаем $8$. Записываем $8$ в частное.
4. Умножаем $8$ на $3$, получаем $24$. Вычитаем $24$ из $24$, получаем $0$. Деление завершено.

Таким образом, $1824 : 3 = 608$.
Ответ: 608.

2) 11 060 : 7 =

Выполним деление столбиком.

1. Первое неполное делимое — $11$ (тысячи). Делим $11$ на $7$, берем по $1$. Записываем $1$ в частное. Умножаем $1$ на $7$, получаем $7$. Вычитаем $7$ из $11$, получаем остаток $4$.
2. К остатку $4$ сносим следующую цифру — $0$. Получаем число $40$ (сотни). Делим $40$ на $7$, берем по $5$. Записываем $5$ в частное. Умножаем $5$ на $7$, получаем $35$. Вычитаем $35$ из $40$, получаем остаток $5$.
3. К остатку $5$ сносим следующую цифру — $6$. Получаем число $56$ (десятки). Делим $56$ на $7$, получаем $8$. Записываем $8$ в частное. Умножаем $8$ на $7$, получаем $56$. Вычитаем $56$ из $56$, получаем остаток $0$.
4. Сносим последнюю цифру делимого — $0$. Делим $0$ на $7$, получаем $0$. Записываем $0$ в частное.

Таким образом, $11060 : 7 = 1580$.
Ответ: 1580.