номер 142, страница 52, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

142. Напишите все простые числа, при подстановке которых вместо буквы получится верное неравенство:

1) $7 < a < 27;$

2) $50 < x < 83;$

3) $305 < b < 330;$

4) $918 < y < 955.$

1) $7 < a < 27$;

Требуется найти все простые числа $\text{a}$, которые больше 7, но меньше 27. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя.

Выпишем все целые числа, находящиеся в заданном интервале: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26.

Теперь из этого списка выберем простые числа:

- 11 (делится только на 1 и 11)

- 13 (делится только на 1 и 13)

- 17 (делится только на 1 и 17)

- 19 (делится только на 1 и 19)

- 23 (делится только на 1 и 23)

Остальные числа являются составными, так как имеют другие делители, кроме 1 и самих себя (например, $8 = 2 \cdot 4$, $9 = 3 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$).

Ответ: 11, 13, 17, 19, 23.

2) $50 < x < 83$;

Нужно найти все простые числа $\text{x}$ в интервале от 50 до 83. Для проверки числа $\text{n}$ на простоту будем проверять его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{n}$. Так как $\sqrt{83} \approx 9.1$, то достаточно проверить делимость на простые числа 2, 3, 5, 7.

Рассмотрим числа в интервале $(50, 83)$. Сразу исключим все четные числа (делятся на 2) и числа, оканчивающиеся на 5 (делятся на 5).

Проверим оставшиеся числа: 51, 53, 57, 59, 61, 63, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 81.

- 51: делится на 3 (сумма цифр $5+1=6$).

- 53: не делится на 3, 5, 7. Является простым.

- 57: делится на 3 (сумма цифр $5+7=12$).

- 59: не делится на 3, 5, 7. Является простым.

- 61: не делится на 3, 5, 7. Является простым.

- 63: делится на 3 и 7.

- 67: не делится на 3, 5, 7. Является простым.

- 69: делится на 3 (сумма цифр $6+9=15$).

- 71: не делится на 3, 5, 7. Является простым.

- 73: не делится на 3, 5, 7. Является простым.

- 77: делится на 7.

- 79: не делится на 3, 5, 7. Является простым.

- 81: делится на 3 и 9.

Ответ: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79.

3) $305 < b < 330$;

Ищем простые числа $\text{b}$ в интервале $(305, 330)$. Проверку на простоту будем выполнять делением на простые числа до $\sqrt{330} \approx 18.1$. Это простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Рассмотрим числа в заданном интервале. Исключаем четные и оканчивающиеся на 5.

Остаются кандидаты: 307, 309, 311, 313, 317, 319, 321, 323, 327, 329.

- Проверим делимость на 3 по сумме цифр: $309$ ($3+0+9=12$), $321$ ($3+2+1=6$), $327$ ($3+2+7=12$). Эти числа составные.

- Проверим оставшиеся числа: 307, 311, 313, 317, 319, 323, 329.

- 307: не делится на 7, 11, 13, 17. Является простым.

- 311: не делится на 7, 11, 13, 17. Является простым.

- 313: не делится на 7, 11, 13, 17. Является простым.

- 317: не делится на 7, 11, 13, 17. Является простым.

- 319: делится на 11, так как $319 = 11 \cdot 29$.

- 323: делится на 17, так как $323 = 17 \cdot 19$.

- 329: делится на 7, так как $329 = 7 \cdot 47$.

Ответ: 307, 311, 313, 317.

4) $918 < y < 955$;

Ищем простые числа $\text{y}$ в интервале $(918, 955)$. Проверку на простоту будем выполнять делением на простые числа до $\sqrt{955} \approx 30.9$. Это простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

- Исключаем четные числа и числа, оканчивающиеся на 5.

- Исключаем числа, делящиеся на 3 (по сумме цифр): 921, 927, 933, 939, 951.

- Остаются кандидаты: 919, 923, 929, 931, 937, 941, 943, 947, 949, 953.

- 919: последовательная проверка показывает, что оно не делится ни на одно из простых чисел до 29. Является простым.

- 923: делится на 13, так как $923 = 13 \cdot 71$.

- 929: не делится ни на одно из простых чисел до 29. Является простым.

- 931: делится на 7, так как $931 = 7 \cdot 133$.

- 937: не делится ни на одно из простых чисел до 29. Является простым.

- 941: не делится ни на одно из простых чисел до 29. Является простым.

- 943: делится на 23, так как $943 = 23 \cdot 41$.

- 947: не делится ни на одно из простых чисел до 29. Является простым.

- 949: делится на 13, так как $949 = 13 \cdot 73$.

- 953: не делится ни на одно из простых чисел до 29. Является простым.

Ответ: 919, 929, 937, 941, 947, 953.