номер 164, страница 57, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

164. Укажите два числа, которые можно подставить вместо буквы, чтобы делились на 5 значения выражений:

1) $628 + 26x$;

2) $1534y - 22$;

3) $n + 916 \cdot 25$.

1) 628 + 26x

Чтобы значение выражения делилось на 5, оно должно оканчиваться на 0 или 5. Это условие можно проверить с помощью арифметики остатков (сравнений по модулю 5). Выражение должно быть сравнимо с нулем по модулю 5:

$628 + 26x \equiv 0 \pmod{5}$

Найдем остатки от деления на 5 для коэффициентов:

Число 628 оканчивается на 8, значит, $628 \equiv 3 \pmod{5}$.

Число 26 оканчивается на 6, значит, $26 \equiv 1 \pmod{5}$.

Подставим эти значения в наше сравнение:

$3 + 1 \cdot x \equiv 0 \pmod{5}$

$x + 3 \equiv 0 \pmod{5}$

$x \equiv -3 \pmod{5}$

Поскольку $-3 \equiv 2 \pmod{5}$ (так как $-3+5=2$), то получаем:

$x \equiv 2 \pmod{5}$

Это значит, что для выполнения условия $\text{x}$ может быть любым числом, которое при делении на 5 дает в остатке 2. Такие числа оканчиваются на 2 или 7. Возьмем, к примеру, числа 2 и 7.

Проверка:

При $x=2$: $628 + 26 \cdot 2 = 628 + 52 = 680$. Число 680 оканчивается на 0, значит, делится на 5.

При $x=7$: $628 + 26 \cdot 7 = 628 + 182 = 810$. Число 810 оканчивается на 0, значит, делится на 5.

Ответ: 2 и 7.

2) 1534y - 22

Значение этого выражения также должно делиться на 5, то есть быть сравнимым с нулем по модулю 5:

$1534y - 22 \equiv 0 \pmod{5}$

Найдем остатки от деления на 5 для чисел в выражении:

Число 1534 оканчивается на 4, значит, $1534 \equiv 4 \pmod{5}$. Также можно записать, что $4 \equiv -1 \pmod{5}$.

Число 22 оканчивается на 2, значит, $22 \equiv 2 \pmod{5}$.

Подставим эти значения в сравнение, используя $-1$ для удобства:

$-1 \cdot y - 2 \equiv 0 \pmod{5}$

$-y \equiv 2 \pmod{5}$

Умножим обе части на -1:

$y \equiv -2 \pmod{5}$

Поскольку $-2 \equiv 3 \pmod{5}$ (так как $-2+5=3$), то получаем:

$y \equiv 3 \pmod{5}$

Это значит, что $\text{y}$ может быть любым числом, которое при делении на 5 дает в остатке 3. Такие числа оканчиваются на 3 или 8. Возьмем, к примеру, числа 3 и 8.

Проверка:

При $y=3$: $1534 \cdot 3 - 22 = 4602 - 22 = 4580$. Число 4580 оканчивается на 0, значит, делится на 5.

При $y=8$: $1534 \cdot 8 - 22 = 12272 - 22 = 12250$. Число 12250 оканчивается на 0, значит, делится на 5.

Ответ: 3 и 8.

3) n + 916 · 25

Рассмотрим выражение $n + 916 \cdot 25$. Условие делимости на 5 выглядит так:

$n + 916 \cdot 25 \equiv 0 \pmod{5}$

Обратим внимание на второе слагаемое $916 \cdot 25$. Поскольку множитель 25 делится на 5 ($25 = 5 \cdot 5$), все произведение также делится на 5.

$25 \equiv 0 \pmod{5}$, следовательно $916 \cdot 25 \equiv 916 \cdot 0 \equiv 0 \pmod{5}$.

Подставим это в наше сравнение:

$n + 0 \equiv 0 \pmod{5}$

$n \equiv 0 \pmod{5}$

Это означает, что число $\text{n}$ должно делиться на 5 без остатка. То есть $\text{n}$ может быть любым числом, оканчивающимся на 0 или 5. Возьмем, к примеру, числа 10 и 15.

Проверка:

Вычислим $916 \cdot 25 = 22900$.

При $n=10$: $10 + 22900 = 22910$. Число 22910 оканчивается на 0, значит, делится на 5.

При $n=15$: $15 + 22900 = 22915$. Число 22915 оканчивается на 5, значит, делится на 5.

Ответ: 10 и 15.