номер 159, страница 56, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

159. Объясните, используя свойства делимости, почему число:

1) $1980$ делится на $18$;

2) $1100$ делится на $55$.

1) Для того чтобы объяснить, почему 1980 делится на 18, можно использовать свойство делимости суммы. Это свойство гласит: если каждое слагаемое в сумме делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.

Представим число 1980 в виде суммы двух слагаемых, деление которых на 18 очевидно: $1980 = 1800 + 180$.

Рассмотрим каждое слагаемое:

- Первое слагаемое, 1800, делится на 18 без остатка, так как $1800 = 18 \times 100$.

- Второе слагаемое, 180, также делится на 18 без остатка, так как $180 = 18 \times 10$.

Поскольку оба слагаемых (1800 и 180) делятся на 18, то согласно свойству делимости суммы, их сумма, равная 1980, также делится на 18.

Ответ: Число 1980 можно представить в виде суммы $1800 + 180$. Так как оба слагаемых, 1800 и 180, делятся на 18, то и их сумма 1980 делится на 18.

2) Для объяснения, почему 1100 делится на 55, воспользуемся свойством делимости, связанным с разложением делителя на взаимно простые множители. Свойство заключается в следующем: если число делится на каждое из двух взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.

Представим делитель 55 в виде произведения двух взаимно простых чисел (чисел, у которых нет общих делителей, кроме 1): $55 = 5 \times 11$.

Теперь необходимо проверить, делится ли число 1100 на 5 и на 11.

- Проверка делимости на 5: Согласно признаку делимости на 5, число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Число 1100 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 5.

- Проверка делимости на 11: Число 1100 можно представить как произведение $11 \times 100$. Поскольку один из множителей в этом произведении — 11, то все произведение делится на 11.

Так как число 1100 делится и на 5, и на 11, а числа 5 и 11 взаимно простые, то 1100 делится на их произведение, то есть на $5 \times 11 = 55$.

Ответ: Делитель 55 можно разложить на взаимно простые множители 5 и 11. Число 1100 делится на 5 (потому что оканчивается на 0) и делится на 11 (потому что $1100 = 11 \times 100$), следовательно, оно делится и на их произведение, равное 55.