номер 165, страница 57, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

165. Простым или составным числом является значение суммы трех последовательных натуральных чисел?

Чтобы определить, простым или составным является значение суммы трех последовательных натуральных чисел, проведем алгебраическое исследование.

Пусть три последовательных натуральных числа можно представить как $\text{n}$, $n+1$ и $n+2$, где $\text{n}$ — любое натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Найдем сумму $\text{S}$ этих трех чисел:

$S = n + (n+1) + (n+2)$

Упростим полученное выражение, сгруппировав слагаемые:

$S = (n + n + n) + (1 + 2) = 3n + 3$

Теперь вынесем общий множитель 3 за скобки:

$S = 3(n+1)$

Из формулы $S = 3(n+1)$ видно, что сумма $\text{S}$ всегда является произведением двух множителей: 3 и $(n+1)$. Это означает, что сумма $\text{S}$ всегда делится на 3.

Согласно определению, составное число — это натуральное число, имеющее более двух делителей (то есть, делители, отличные от 1 и самого себя). Простое число имеет ровно два делителя.

Наша сумма $\text{S}$ всегда делится на 3. Единственное простое число, которое делится на 3, — это само число 3. Проверим, может ли наша сумма быть равной 3:

$3(n+1) = 3$

$n+1 = 1$

$n = 0$

Однако по условию мы рассматриваем натуральные числа, а наименьшее натуральное число — это 1. Значит, $\text{n}$ не может быть равно 0.

Найдем наименьшее возможное значение суммы, подставив минимальное значение $n=1$:

$S_{min} = 3(1+1) = 3 \times 2 = 6$.

Эта сумма соответствует числам 1, 2 и 3 ($1+2+3=6$).

Таким образом, сумма трех последовательных натуральных чисел всегда является числом, которое делится на 3 и при этом больше 3 (поскольку минимальное значение суммы равно 6). Любое число, которое больше 3 и делится на 3, по определению является составным, так как у него есть как минимум три делителя: 1, 3 и само число.

Ответ: значение суммы трех последовательных натуральных чисел всегда является составным числом.