номер 1, страница 59, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как по записи натурального числа узнать, делится ли оно на $2, 3, 5, 9, 10$?

Для того чтобы по записи натурального числа узнать, делится ли оно на 2, 3, 5, 9 или 10, существуют простые правила, называемые признаками делимости.

Делимость на 2

Чтобы определить, делится ли натуральное число на 2, достаточно посмотреть на его последнюю цифру. Если число оканчивается на четную цифру, то оно делится на 2 без остатка. Четными цифрами являются 0, 2, 4, 6, 8.

Это правило следует из того, что любое натуральное число $\text{N}$ можно представить в виде $N = 10 \cdot k + d$, где $\text{d}$ — последняя цифра числа, а $\text{k}$ — число, образованное остальными цифрами. Слагаемое $10 \cdot k$ всегда делится на 2, так как $10 = 2 \cdot 5$. Следовательно, делимость числа $\text{N}$ на 2 полностью зависит от делимости его последней цифры $\text{d}$.

Например, число 378 делится на 2, потому что его последняя цифра 8 — четная. Число 591 не делится на 2, так как его последняя цифра 1 — нечетная.

Ответ: Натуральное число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8.

Делимость на 3

Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Чтобы применить это правило, нужно сложить все цифры, из которых состоит число, и проверить, делится ли полученная сумма на 3.

Например, проверим число 4821. Сумма его цифр равна $4 + 8 + 2 + 1 = 15$. Так как 15 делится на 3 ($15 : 3 = 5$), то и само число 4821 делится на 3 ($4821 : 3 = 1607$).

Рассмотрим другое число, 713. Сумма его цифр: $7 + 1 + 3 = 11$. Число 11 не делится на 3 без остатка, следовательно, и 713 не делится на 3.

Если сумма цифр получилась большим числом, к ней можно снова применить это же правило.

Ответ: Натуральное число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Делимость на 5

Правило делимости на 5 очень похоже на правило делимости на 2. Чтобы узнать, делится ли число на 5, нужно посмотреть на его последнюю цифру. Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

Как и в случае с делимостью на 2, любое число $\text{N}$ можно представить как $N = 10 \cdot k + d$. Слагаемое $10 \cdot k$ всегда делится на 5, потому что $10 = 2 \cdot 5$. Значит, всё зависит от последней цифры $\text{d}$. Среди однозначных чисел на 5 делятся только 0 и 5.

Например, число 1495 делится на 5, так как оно оканчивается на 5. Число 2070 делится на 5, потому что его последняя цифра — 0. А число 884 не делится на 5, поскольку оно оканчивается на 4.

Ответ: Натуральное число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.

Делимость на 9

Признак делимости на 9 очень похож на признак делимости на 3. Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Возьмем, к примеру, число 2745. Найдем сумму его цифр: $2 + 7 + 4 + 5 = 18$. Число 18 делится на 9 ($18 : 9 = 2$), а значит, и число 2745 делится на 9 ($2745 : 9 = 305$).

Для числа 904 сумма цифр будет $9 + 0 + 4 = 13$. Так как 13 не делится на 9, то и 904 не делится на 9. Как и в случае с тройкой, если сумма цифр получается большой, можно повторно сложить цифры результата.

Ответ: Натуральное число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Делимость на 10

Это самый простой признак делимости. Натуральное число делится на 10 без остатка, если его последняя цифра — 0.

Это очевидно из самой десятичной системы счисления, где каждая следующая позиция (разряд) в 10 раз больше предыдущей. Любое число, оканчивающееся на 0, можно представить в виде $N = M \cdot 10$, где $\text{M}$ — это число, полученное отбрасыванием последнего нуля. Такое представление напрямую показывает, что число $\text{N}$ делится на 10.

Например, число 6540 делится на 10, так как оно оканчивается на 0. Число 7001 не делится на 10, потому что его последняя цифра — 1.

Ответ: Натуральное число делится на 10, если его последняя цифра — 0.