номер 223, страница 69, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

223. Сколько раз встречается число $\text{5}$ в разложении чисел $1000$; $3000$; $4000$; $7000$ на простые множители? Можно ли ответить на этот вопрос, не используя разложение на простые множители?

Чтобы определить, сколько раз число 5 встречается в разложении на простые множители, необходимо выполнить это разложение для каждого из указанных чисел.

Разложение числа 1000

Представим число 1000 в виде произведения простых множителей. Число 1000 является произведением трех десяток: $1000 = 10 \cdot 10 \cdot 10$. Поскольку простое разложение числа 10 это $2 \cdot 5$, получаем: $1000 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^3$. Как видно из разложения, множитель 5 встречается 3 раза.

Ответ: 3 раза.

Разложение числа 3000

Представим число 3000 как произведение $3 \cdot 1000$. Используя разложение для 1000 из предыдущего пункта, получаем: $3000 = 3 \cdot 1000 = 3 \cdot (2^3 \cdot 5^3) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^3$. В разложении числа 3000 на простые множители число 5 встречается 3 раза.

Ответ: 3 раза.

Разложение числа 4000

Представим число 4000 как произведение $4 \cdot 1000$. Разложим 4 на простые множители: $4 = 2^2$. $4000 = 4 \cdot 1000 = 2^2 \cdot (2^3 \cdot 5^3) = 2^{2+3} \cdot 5^3 = 2^5 \cdot 5^3$. В разложении числа 4000 на простые множители число 5 встречается 3 раза.

Ответ: 3 раза.

Разложение числа 7000

Представим число 7000 как произведение $7 \cdot 1000$. Так как 7 — это простое число, разложение будет выглядеть так: $7000 = 7 \cdot 1000 = 7 \cdot (2^3 \cdot 5^3) = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 7$. В разложении числа 7000 на простые множители число 5 встречается 3 раза.

Ответ: 3 раза.

Можно ли ответить на этот вопрос, не используя разложение на простые множители?

Да, можно. Для этого не обязательно проводить полное разложение каждого числа с нуля. Можно заметить, что все указанные числа (1000, 3000, 4000, 7000) заканчиваются на три нуля. Это означает, что каждое из них является произведением некоторого числа и 1000.

1. Разложение числа 1000 на простые множители: $1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$. Это означает, что число 1000 содержит простой множитель 5 ровно три раза.

2. Теперь рассмотрим каждое число как произведение:

• $1000 = 1 \cdot 1000$
• $3000 = 3 \cdot 1000$
• $4000 = 4 \cdot 1000$
• $7000 = 7 \cdot 1000$

Следовательно, количество множителей 5 в каждом из этих чисел определяется исключительно количеством множителей 5 в числе 1000, а их, как мы установили, три. Таким образом, можно сделать вывод, что в разложении каждого из чисел 1000, 3000, 4000 и 7000 множитель 5 встречается ровно 3 раза.

Ответ: Да, можно, проанализировав, что каждое число является произведением числа, не кратного 5, и числа 1000, которое в своём разложении на простые множители содержит 5 три раза.