номер 410, страница 108, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

410. Верно ли, что:

1) всякая правильная обыкновенная дробь меньше $\text{1}$;

2) неправильная обыкновенная дробь всегда больше $\text{1}$;

3) некоторые неправильные обыкновенные дроби меньше $\text{1}$;

4) любая правильная обыкновенная дробь меньше любой неправильной обыкновенной дроби;

5) неправильная обыкновенная дробь может быть меньше $\text{2}$?

1) Правильная обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Пусть дана дробь $\frac{a}{b}$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ — натуральные числа. Если дробь правильная, то по определению $a < b$. Разделив обе части этого неравенства на положительное число $\text{b}$, мы получим $\frac{a}{b} < \frac{b}{b}$, что равносильно $\frac{a}{b} < 1$. Таким образом, утверждение, что всякая правильная обыкновенная дробь меньше 1, является верным.

Ответ: Верно.

2) Неправильная обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Пусть дана дробь $\frac{a}{b}$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ — натуральные числа. Если дробь неправильная, то по определению $a \ge b$. Если $a > b$, то дробь $\frac{a}{b} > 1$. Однако, если $a = b$, то дробь $\frac{a}{b} = 1$. Например, дробь $\frac{5}{5}$ является неправильной, но она равна 1, а не больше 1. Поскольку утверждение гласит, что неправильная дробь всегда больше 1, оно не учитывает случай равенства. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

3) Как было установлено в предыдущем пункте, для любой неправильной дроби $\frac{a}{b}$ выполняется условие $a \ge b$. Это означает, что значение такой дроби всегда больше или равно 1 ($\frac{a}{b} \ge 1$). Не существует неправильных дробей, которые были бы меньше 1. Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

4) Из пункта 1 мы знаем, что любая правильная дробь меньше 1. Из пункта 2 мы знаем, что любая неправильная дробь больше или равна 1. Обозначим любую правильную дробь как $\text{P}$ и любую неправильную дробь как $\text{I}$. Тогда мы имеем систему неравенств: $P < 1$ и $I \ge 1$. Сравнивая эти два выражения, мы можем заключить, что $P < 1 \le I$, из чего следует, что $P < I$. Таким образом, любая правильная дробь всегда меньше любой неправильной дроби. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

5) Неправильная дробь $\frac{a}{b}$ должна удовлетворять условию $a \ge b$. Нам нужно выяснить, может ли такая дробь быть меньше 2. Рассмотрим неравенство $\frac{a}{b} < 2$. Это возможно, если числитель $\text{a}$ меньше, чем удвоенный знаменатель $2b$. Таким образом, нам нужно найти дробь, для которой одновременно выполняются два условия: $a \ge b$ и $a < 2b$. Существует множество таких дробей. Например, дробь $\frac{3}{2}$. Здесь $3 \ge 2$ (дробь неправильная) и $\frac{3}{2} = 1.5$, что меньше 2. Другой пример — дробь $\frac{4}{3}$, которая также является неправильной и меньше 2 ($\frac{4}{3} \approx 1.33$). Даже дробь, равная 1, например $\frac{7}{7}$, является неправильной и меньше 2. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.