номер 630, страница 31, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

630. Сколькими способами можно расположить десятичные дроби $56,8*$; $56, *1$; $56,*8$ в порядке убывания, чтобы первая десятичная дробь стояла на третьем месте?

Обозначим данные десятичные дроби как $A = 56,8*$, $B = 56,*1$ и $C = 56,*8$. В каждой дроби звездочка (*) заменяет одну цифру от 0 до 9.

Условие, что при расположении дробей в порядке убывания дробь $\text{A}$ стоит на третьем месте, означает, что она является наименьшей из трех. Математически это можно записать в виде системы двух неравенств:

$A < B$

$A < C$

Пусть $d_1, d_2, d_3$ — это цифры, заменяющие звездочки в дробях $A, B$ и $\text{C}$ соответственно. Тогда дроби имеют вид: $A = 56,8d_1$, $B = 56,d_21$, $C = 56,d_38$. Неравенства переписываются так:

1) $56,8d_1 < 56,d_21$

2) $56,8d_1 < 56,d_38$

Поскольку целые части всех дробей равны 56, сравнение сводится к сравнению их дробных частей.

Из первого неравенства ($0,8d_1 < 0,d_21$) следует, что цифра $d_2$ должна быть больше или равна 8. Аналогично, из второго неравенства ($0,8d_1 < 0,d_38$) следует, что $d_3$ должна быть больше или равна 8.

Для нахождения общего количества способов подсчитаем число подходящих комбинаций цифр $(d_1, d_2, d_3)$, последовательно перебирая значения $d_1$ от 0 до 9.

Если $d_1 = 0$, то $A = 56,80$.

Неравенство $56,80 < 56,d_21$ выполняется для $d_2=8$ ($56,80<56,81$) и $d_2=9$ ($56,80<56,91$). Это 2 варианта для $d_2$.

Неравенство $56,80 < 56,d_38$ выполняется для $d_3=8$ ($56,80<56,88$) и $d_3=9$ ($56,80<56,98$). Это 2 варианта для $d_3$.

Общее число комбинаций в этом случае: $2 \times 2 = 4$.

Если $d_1$ принимает одно из значений $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ (7 вариантов):

Неравенство $56,8d_1 < 56,d_21$ выполняется только для $d_2=9$, так как при $d_2=8$ мы получили бы $56,8d_1 < 56,81$, что неверно при $d_1 \ge 1$. Это 1 вариант для $d_2$.

Неравенство $56,8d_1 < 56,d_38$ выполняется для $d_3=8$ (так как $d_1 < 8$) и $d_3=9$. Это 2 варианта для $d_3$.

Для каждого из 7 значений $d_1$ получаем $1 \times 2 = 2$ комбинации. Всего: $7 \times 2 = 14$ комбинаций.

Если $d_1 = 8$, то $A = 56,88$.

Неравенство $56,88 < 56,d_21$ выполняется только для $d_2=9$ ($56,88<56,91$). Это 1 вариант для $d_2$.

Неравенство $56,88 < 56,d_38$ выполняется только для $d_3=9$ ($56,88<56,98$), так как при $d_3=8$ неравенство $56,88 < 56,88$ ложно. Это 1 вариант для $d_3$.

Общее число комбинаций: $1 \times 1 = 1$.

Если $d_1 = 9$, то $A = 56,89$.

Неравенство $56,89 < 56,d_21$ выполняется только для $d_2=9$ ($56,89<56,91$). Это 1 вариант для $d_2$.

Неравенство $56,89 < 56,d_38$ выполняется только для $d_3=9$ ($56,89<56,98$). Это 1 вариант для $d_3$.

Общее число комбинаций: $1 \times 1 = 1$.

Суммируем количество способов для всех рассмотренных случаев:

$4 + 14 + 1 + 1 = 20$.

Каждая такая комбинация цифр создает уникальный набор из трех дробей, который можно расположить в порядке убывания единственным способом, где $\text{A}$ будет на последнем месте. Следовательно, количество способов равно общему числу подходящих комбинаций цифр.

Ответ: 20