номер 274, страница 100, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

274. Измерения прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.2) выражаются простыми числами. Площадь его передней грани равна $21 \text{ см}^2$, верхней грани – $35 \text{ см}^2$.

• Определите его измерения.
• Найдите его объем.

Определите его измерения.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда — длина, ширина и высота — равны $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ соответственно. Согласно условию задачи, $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ являются простыми числами.

Площадь передней грани представляет собой произведение длины $\text{a}$ и высоты $\text{c}$. $S_{передн} = a \cdot c = 21$ см².

Площадь верхней грани представляет собой произведение длины $\text{a}$ и ширины $\text{b}$. $S_{верхн} = a \cdot b = 35$ см².

Так как измерения являются простыми числами, найдем простые множители для каждой площади:

Для площади 21 см²: $21 = 3 \cdot 7$. Следовательно, одна из сторон равна 3, а другая 7. То есть, $\{a, c\} = \{3, 7\}$.

Для площади 35 см²: $35 = 5 \cdot 7$. Следовательно, одна из сторон равна 5, а другая 7. То есть, $\{a, b\} = \{5, 7\}$.

Длина $\text{a}$ является общей стороной для передней и верхней граней. Сравнивая наборы множителей $\{3, 7\}$ и $\{5, 7\}$, мы видим, что общим множителем является число 7. Значит, длина $a = 7$ см.

Теперь легко найти остальные измерения:

Высота $\text{c}$: из уравнения $a \cdot c = 21$, получаем $7 \cdot c = 21$, откуда $c = 3$ см.

Ширина $\text{b}$: из уравнения $a \cdot b = 35$, получаем $7 \cdot b = 35$, откуда $b = 5$ см.

Таким образом, измерения параллелепипеда равны 7 см, 5 см и 3 см. Все эти числа являются простыми, что соответствует условию задачи.

Ответ: измерения параллелепипеда равны 3 см, 5 см и 7 см.

Найдите его объем.

Объем $\text{V}$ прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трех измерений: длины, ширины и высоты.

Формула объема: $V = a \cdot b \cdot c$.

Подставим найденные значения измерений: $a=7$ см, $b=5$ см и $c=3$ см.

$V = 7 \cdot 5 \cdot 3 = 105$ см³.

Ответ: объем параллелепипеда равен 105 см³.