номер 2, страница 104, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

2. Как найти наибольший общий делитель двух натуральных чисел?

Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел — это самое большое натуральное число, на которое оба этих числа делятся без остатка. Для нахождения НОД существует несколько алгоритмов. Рассмотрим два основных способа.

Способ 1: Разложение на простые множители

Этот метод состоит из следующих шагов:

1. Разложить каждое из данных чисел на простые множители и представить в виде произведения степеней.
2. Найти все общие простые множители в разложениях этих чисел.
3. Для каждого общего простого множителя взять его наименьшую степень из всех разложений.
4. Перемножить множители в этих степенях. Полученное произведение является НОД.

Пример: Найдем НОД(72, 96).

1. Разложим числа на простые множители:

$72 = 2^3 \cdot 3^2$

$96 = 2^5 \cdot 3^1$

2. Общие простые множители: 2 и 3.

3. Выбираем наименьшие степени для общих множителей:

• Для множителя 2 наименьшая степень: $\min(3, 5) = 3$.
• Для множителя 3 наименьшая степень: $\min(2, 1) = 1$.

4. Вычисляем НОД:

НОД(72, 96) = $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.

Ответ: Наибольший общий делитель находится путем перемножения общих простых множителей, взятых в наименьшей из степеней, в которых они входят в разложения исходных чисел.

Способ 2: Алгоритм Евклида (делением)

Этот метод особенно эффективен для больших чисел, так как не требует разложения на множители. Он основан на ключевом свойстве: наибольший общий делитель двух чисел равен наибольшему общему делителю меньшего из этих чисел и остатка от деления большего на меньшее.

1. Пусть даны два числа $\text{a}$ и $\text{b}$, причем $a \ge b$.
2. Если $b = 0$, то НОД равен $\text{a}$.
3. Если $b \ne 0$, делим $\text{a}$ на $\text{b}$ с остатком: $a = q \cdot b + r$, где $\text{q}$ – неполное частное, а $\text{r}$ – остаток ($0 \le r < b$).
4. Так как НОД($a, b$) = НОД($b, r$), заменяем исходную пару чисел на новую ($b, r$) и повторяем процесс с шага 2.
5. Процесс продолжается до тех пор, пока остаток не станет равным нулю. Последний ненулевой остаток и будет НОД.

Пример: Найдем НОД(96, 72).

1. Делим 96 на 72: $96 = 1 \cdot 72 + 24$. Остаток равен 24. Теперь задача сводится к нахождению НОД(72, 24).

2. Делим 72 на 24: $72 = 3 \cdot 24 + 0$. Остаток равен 0.

Процесс останавливается, так как остаток равен нулю. Последний ненулевой остаток был 24.

Следовательно, НОД(96, 72) = 24.

Ответ: Наибольший общий делитель по алгоритму Евклида — это последний ненулевой остаток, полученный в процессе последовательного деления.