номер 3, страница 104, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Как можно найти наибольший общий делитель данных чисел, если они делятся на наименьшее из них?

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) данных чисел, при условии, что все они делятся на наименьшее из них, необходимо сначала определить это наименьшее число.

Пусть у нас есть набор чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Обозначим наименьшее из них как $a_{min}$.

Согласно условию задачи, каждое число $a_i$ из набора делится на $a_{min}$ без остатка. Это означает, что $a_{min}$ является общим делителем для всех чисел набора.

Теперь вспомним определение наибольшего общего делителя. НОД — это самое большое число, на которое делятся все числа в исходном наборе. Обозначим НОД как $\text{D}$. Любой общий делитель (и НОД в том числе) не может быть больше ни одного из чисел, которые он делит. В частности, он не может быть больше наименьшего из них. Следовательно, должно выполняться неравенство: $D \le a_{min}$.

Итак, мы имеем два факта:

1. Число $a_{min}$ является общим делителем.

2. Наибольший общий делитель $\text{D}$ не может быть больше чем $a_{min}$.

Из этого логически следует, что наибольший из всех возможных общих делителей — это и есть само число $a_{min}$.

Пример для наглядности:

Рассмотрим числа: 12, 24, 60.

• Наименьшее число в наборе: 12.

• Проверяем, делятся ли остальные числа на 12: $24 \div 12 = 2$ (делится); $60 \div 12 = 5$ (делится).

• Условие выполнено, следовательно, НОД(12, 24, 60) = 12.

Ответ: Если все числа в наборе делятся на наименьшее из них, то их наибольший общий делитель равен этому наименьшему числу.