номер 280, страница 105, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

280. Дано разложение чисел a и b. Найдите наибольший общий делитель этих чисел.

1) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3$;

2) $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$ и $b = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11$;

3) $a = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$ и $b = 2 \cdot 7 \cdot 11$;

4) $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ и $b = 5 \cdot 7 \cdot 11$.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, которые представлены в виде разложения на простые множители, необходимо найти произведение их общих простых множителей. Для каждого общего простого множителя нужно взять его в наименьшей степени, в которой он встречается в разложениях обоих чисел.

1) Даны разложения чисел: $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3$.

Общими простыми множителями для чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ являются $\text{2}$ и $\text{3}$.

Множитель $\text{2}$ входит в разложение числа $\text{a}$ дважды ($2^2$), а в разложение числа $\text{b}$ один раз ($2^1$). Для НОД берем наименьшую степень: $2^1$ или просто $\text{2}$.

Множитель $\text{3}$ входит в разложение числа $\text{a}$ один раз ($3^1$), а в разложение числа $\text{b}$ дважды ($3^2$). Для НОД берем наименьшую степень: $3^1$ или просто $\text{3}$.

Теперь перемножим эти множители:

НОД$(a, b) = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

2) Даны разложения чисел: $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$ и $b = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11$.

Общими простыми множителями для чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ являются $\text{2}$ и $11$.

Множитель $\text{2}$ входит в разложение $\text{a}$ один раз, а в разложение $\text{b}$ — дважды. Берем один множитель $\text{2}$.

Множитель $11$ входит в каждое разложение по одному разу. Берем один множитель $11$.

Перемножим выбранные множители:

НОД$(a, b) = 2 \cdot 11 = 22$.

Ответ: 22

3) Даны разложения чисел: $a = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$ и $b = 2 \cdot 7 \cdot 11$.

Общими простыми множителями для чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ являются $\text{2}$ и $\text{7}$.

Множитель $\text{2}$ входит в разложение $\text{a}$ дважды, а в разложение $\text{b}$ — один раз. Берем один множитель $\text{2}$.

Множитель $\text{7}$ входит в каждое разложение по одному разу. Берем один множитель $\text{7}$.

Перемножим выбранные множители:

НОД$(a, b) = 2 \cdot 7 = 14$.

Ответ: 14

4) Даны разложения чисел: $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ и $b = 5 \cdot 7 \cdot 11$.

В разложениях чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми.

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел всегда равен 1.

НОД$(a, b) = 1$.

Ответ: 1