номер 284, страница 105, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

284. Найдите наибольший общий делитель чисел наиболее удобным способом:

1) 42 и 60;

2) 45 и 81;

3) 28 и 33;

4) 75 и 90;

5) 26, 65 и 130;

6) 48, 240 и 264;

7) 72, 432 и 792;

8) 163, 310 и 997.

1) 42 и 60;

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) разложим числа на простые множители:

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

$60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Выберем общие множители в наименьшей степени. Это 2 и 3.

НОД(42, 60) = $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.

2) 45 и 81;

Разложим числа на простые множители:

$45 = 5 \cdot 9 = 5 \cdot 3^2$

$81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$

Общий множитель — это 3. Наименьшая степень, в которой он входит в оба разложения, — это 2.

НОД(45, 81) = $3^2 = 9$.

Ответ: 9.

3) 28 и 33;

Разложим числа на простые множители:

$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$

$33 = 3 \cdot 11$

У чисел 28 и 33 нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми.

Их наибольший общий делитель равен 1.

Ответ: 1.

4) 75 и 90;

Воспользуемся алгоритмом Евклида. Он заключается в последовательной замене большего числа на остаток от деления большего числа на меньшее.

НОД(90, 75) = НОД(75, 90 mod 75) = НОД(75, 15).

Так как 75 делится на 15 без остатка ($75 = 5 \cdot 15$), то процесс завершен.

НОД(75, 15) = 15.

Ответ: 15.

5) 26, 65 и 130;

Заметим, что 130 является кратным числу 26 ($130 = 5 \cdot 26$) и числу 65 ($130 = 2 \cdot 65$).

Это значит, что любой общий делитель чисел 26 и 65 будет также делителем числа 130.

Следовательно, НОД(26, 65, 130) = НОД(26, 65).

Разложим 26 и 65 на множители:

$26 = 2 \cdot 13$

$65 = 5 \cdot 13$

Общий множитель — 13.

Ответ: 13.

6) 48, 240 и 264;

Заметим, что $240 = 5 \cdot 48$. Значит, 240 делится на 48.

Поэтому НОД(48, 240, 264) = НОД(48, 264).

Применим алгоритм Евклида для чисел 48 и 264:

$264 \div 48 = 5$ (остаток 24).

НОД(264, 48) = НОД(48, 24).

Так как 48 делится на 24 без остатка ($48 = 2 \cdot 24$), то НОД(48, 24) = 24.

Ответ: 24.

7) 72, 432 и 792;

Наиболее удобный способ — проверить, не является ли наименьшее число делителем остальных.

Проверим делимость на 72:

$432 \div 72 = 6$

$792 \div 72 = 11$

Так как числа 432 и 792 делятся на 72, то 72 является их общим делителем. Поскольку большего делителя, чем само число 72, у него быть не может, 72 и есть наибольший общий делитель.

Ответ: 72.

8) 163, 310 и 997.

Проверим, является ли число 163 простым. Для этого достаточно проверить его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{163} \approx 12.7$. Проверяем делимость на 2, 3, 5, 7, 11.

163 нечетное, сумма цифр 1+6+3=10 не делится на 3, не оканчивается на 0 или 5.

$163 \div 7 = 23$ (ост. 2)

$163 \div 11 = 14$ (ост. 9)

Число 163 — простое.

НОД группы чисел, в которой есть простое число, может быть либо 1, либо само это простое число.

Проверим, делится ли 310 на 163: $310 \div 163$ не дает целого результата ($163 \cdot 2 = 326$).

Значит, НОД(163, 310) = 1.

Если НОД двух чисел из группы равен 1, то и НОД всей группы чисел равен 1.

Ответ: 1.