номер 278, страница 104, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

278. Найдите наибольший общий делитель чисел способом разложения на простые множители:

1) 48 и 84;

2) 70 и 98;

3) 16 и 45;

4) 52 и 78;

5) 44 и 65;

6) 72 и 96;

7) 78, 117 и 195

8) 110, 154 и 286;

9) 90, 126 и 162.

1) Разложим числа 48 и 84 на простые множители:

$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$

$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

Наибольший общий делитель (НОД) равен произведению общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени. Общие множители: $\text{2}$ и $\text{3}$. Наименьшая степень для $\text{2}$ - это $2^2$, для $\text{3}$ - это $3^1$.

$НОД(48, 84) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

2)

Разложим числа 70 и 98 на простые множители:

$70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

$98 = 2 \cdot 7 \cdot 7 = 2 \cdot 7^2$

Общие простые множители: $\text{2}$ и $\text{7}$. Берем их в наименьших степенях: $2^1$ и $7^1$.

$НОД(70, 98) = 2 \cdot 7 = 14$.

Ответ: 14

3)

Разложим числа 16 и 45 на простые множители:

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Данные числа не имеют общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель равен 1.

$НОД(16, 45) = 1$.

Ответ: 1

4)

Разложим числа 52 и 78 на простые множители:

$52 = 2 \cdot 2 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13$

$78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$

Общие простые множители: $\text{2}$ и $13$. Берем их в наименьших степенях: $2^1$ и $13^1$.

$НОД(52, 78) = 2 \cdot 13 = 26$.

Ответ: 26

5)

Разложим числа 44 и 65 на простые множители:

$44 = 2 \cdot 2 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11$

$65 = 5 \cdot 13$

У чисел 44 и 65 нет общих простых множителей. Они взаимно простые.

$НОД(44, 65) = 1$.

Ответ: 1

6)

Разложим числа 72 и 96 на простые множители:

$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$

$96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$

Общие простые множители: $\text{2}$ и $\text{3}$. Наименьшая степень для $\text{2}$ - это $2^3$, для $\text{3}$ - это $3^1$.

$НОД(72, 96) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Ответ: 24

7)

Разложим числа 78, 117 и 195 на простые множители:

$78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$

$117 = 3 \cdot 3 \cdot 13 = 3^2 \cdot 13$

$195 = 3 \cdot 5 \cdot 13$

Общие простые множители: $\text{3}$ и $13$. Берем их в наименьших степенях, которые встречаются во всех трех разложениях: $3^1$ и $13^1$.

$НОД(78, 117, 195) = 3 \cdot 13 = 39$.

Ответ: 39

8)

Разложим числа 110, 154 и 286 на простые множители:

$110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$

$154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$

$286 = 2 \cdot 11 \cdot 13$

Общие простые множители: $\text{2}$ и $11$. В каждом разложении они стоят в первой степени.

$НОД(110, 154, 286) = 2 \cdot 11 = 22$.

Ответ: 22

9)

Разложим числа 90, 126 и 162 на простые множители:

$90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$

$126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$

$162 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^4$

Общие простые множители: $\text{2}$ и $\text{3}$. Наименьшая степень для $\text{2}$ - это $2^1$, для $\text{3}$ - это $3^2$.

$НОД(90, 126, 162) = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Ответ: 18