номер 290, страница 106, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

290. Докажите на примерах, что:

1. Два любых простых числа являются взаимно простыми числами.

2. Два соседних натуральных числа являются взаимно простыми числами.

3. Два соседних нечетных числа – взаимно простые числа.

1. Два любых простых числа являются взаимно простыми числами.

Взаимно простыми называют числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Простое число по определению является натуральным числом больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Возьмём два различных простых числа, например, p и q. Множество делителей числа p — это {1, p}, а множество делителей числа q — это {1, q}. Поскольку p и q — разные числа, их единственный общий делитель — это 1. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1, и они являются взаимно простыми.

Рассмотрим на примерах:

• Возьмем простые числа 3 и 5. Делители числа 3: {1, 3}. Делители числа 5: {1, 5}. Их единственный общий делитель — это 1, следовательно, $НОД(3, 5) = 1$.

• Возьмем простые числа 7 и 23. Делители числа 7: {1, 7}. Делители числа 23: {1, 23}. Их единственный общий делитель — это 1, следовательно, $НОД(7, 23) = 1$.

• Возьмем простые числа 2 и 19. Делители числа 2: {1, 2}. Делители числа 19: {1, 19}. Их единственный общий делитель — это 1, следовательно, $НОД(2, 19) = 1$.

Ответ: Утверждение верно, так как любые два различных простых числа имеют только один общий делитель — единицу.

2. Два соседних натуральных числа являются взаимно простыми числами.

Два соседних натуральных числа можно представить как $\text{n}$ и $n+1$. Допустим, у них есть общий делитель $\text{d}$, который больше 1. Это означает, что и $\text{n}$, и $n+1$ делятся на $\text{d}$ без остатка. Если два числа делятся на $\text{d}$, то и их разность также должна делиться на $\text{d}$. Разность наших чисел равна $(n+1) - n = 1$. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Следовательно, $\text{d}$ может быть только 1. Это означает, что у двух соседних натуральных чисел не может быть общих делителей, кроме 1. Значит, они взаимно простые.

Рассмотрим на примерах:

• Возьмем числа 6 и 7. Делители числа 6: {1, 2, 3, 6}. Делители числа 7: {1, 7}. Общий делитель только 1. $НОД(6, 7) = 1$.

• Возьмем числа 14 и 15. Разложим на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$; $15 = 3 \cdot 5$. Общих простых множителей нет. Значит, $НОД(14, 15) = 1$.

• Возьмем числа 99 и 100. Разложим на простые множители: $99 = 3^2 \cdot 11$; $100 = 2^2 \cdot 5^2$. Общих простых множителей нет. Значит, $НОД(99, 100) = 1$.

Ответ: Утверждение верно, так как разность двух соседних натуральных чисел равна 1, и, следовательно, их единственный общий делитель — это 1.

3. Два соседних нечетных числа – взаимно простые числа.

Два соседних нечетных числа отличаются друг от друга на 2. Их можно представить как $\text{m}$ и $m+2$, где $\text{m}$ — нечетное число. Допустим, у них есть общий делитель $\text{d}$. Тогда и $\text{m}$, и $m+2$ должны делиться на $\text{d}$. В таком случае их разность, равная $(m+2) - m = 2$, также должна делиться на $\text{d}$. Делителями числа 2 являются числа 1 и 2. Так как $\text{m}$ и $m+2$ — нечетные числа, они не могут делиться на 2. Следовательно, их единственный возможный общий делитель — это 1. Таким образом, они являются взаимно простыми.

Рассмотрим на примерах:

• Возьмем нечетные числа 9 и 11. Делители числа 9: {1, 3, 9}. Делители числа 11: {1, 11}. Их единственный общий делитель — 1. $НОД(9, 11) = 1$.

• Возьмем нечетные числа 21 и 23. Разложим на множители: $21 = 3 \cdot 7$. Число 23 — простое. Общих делителей, кроме 1, нет. $НОД(21, 23) = 1$.

• Возьмем нечетные числа 49 и 51. Разложим на множители: $49 = 7^2$; $51 = 3 \cdot 17$. Общих простых множителей нет. Значит, $НОД(49, 51) = 1$.

Ответ: Утверждение верно, так как разность двух соседних нечетных чисел равна 2, а сами числа нечетные (не делятся на 2), поэтому их единственный общий делитель — это 1.