номер 294, страница 107, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

294*. Прямоугольник ABCD (рис. 2.3) состоит из квадратов I, II, III и прямоугольника EFKD. Площадь самого маленького квадрата равна $1 \text{ см}^2$, а площадь прямоугольника EFKD – $21 \text{ см}^2$. Найдите периметр прямоугольника ABCD.

Рис. 2.3

Пусть $s_1$, $s_2$ и $s_3$ — длины сторон квадратов I, II и III соответственно. Из рисунка видно, что прямоугольник $ABCD$ состоит из этих трех квадратов и прямоугольника $EFKD$.

Проанализируем геометрию фигуры, чтобы найти связь между сторонами.

1. Квадраты I и II расположены рядом. Их верхние стороны ($BH$ и $HC$ на рисунке, где H - точка между ними) образуют сторону $BC$ прямоугольника $ABCD$. Их нижние стороны также лежат на одной прямой. Это означает, что высоты квадратов I и II равны. Поскольку это квадраты, их стороны равны их высотам. Следовательно, $s_1 = s_2$. Обозначим эту общую длину как $\text{s}$.

2. Сторона $BC$ прямоугольника $ABCD$ равна сумме сторон квадратов I и II: $BC = s_1 + s_2 = s + s = 2s$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противоположная сторона $AD$ также равна $2s$.

3. Сторона $AB$ прямоугольника $ABCD$ состоит из сторон квадратов I и III, расположенных друг над другом: $AB = s_1 + s_3 = s + s_3$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противоположная сторона $CD$ также равна $s + s_3$.

4. Теперь определим размеры прямоугольника $EFKD$. Его ширина $ED$ является частью стороны $AD$. Сторона $AD$ состоит из отрезков $AE$ (сторона квадрата III) и $ED$. Таким образом, $AD = AE + ED$. $2s = s_3 + ED$. Отсюда ширина прямоугольника $EFKD$ равна $ED = 2s - s_3$. Его высота $KD$ является частью стороны $CD$. Сторона $CD$ состоит из отрезков $CK$ (сторона квадрата II) и $KD$. Таким образом, $CD = CK + KD$. $s + s_3 = s_2 + KD = s + KD$. Отсюда высота прямоугольника $EFKD$ равна $KD = s_3$.

5. Площадь прямоугольника $EFKD$ по условию равна 21 см². Используя найденные выражения для его сторон, составим уравнение: $S_{EFKD} = ED \cdot KD = (2s - s_3) \cdot s_3 = 21$.

6. Также по условию площадь самого маленького квадрата равна 1 см². Площади квадратов I, II и III равны $s_1^2=s^2$, $s_2^2=s^2$ и $s_3^2$. Рассмотрим два возможных случая, какой из квадратов наименьший.

Случай A: Самый маленький квадрат имеет сторону $\text{s}$. Тогда $s^2 = 1$, что означает $s=1$ см (длина стороны положительна). Подставим это значение в уравнение для площади прямоугольника $EFKD$: $(2 \cdot 1 - s_3) \cdot s_3 = 21$ $2s_3 - s_3^2 = 21$ $s_3^2 - 2s_3 + 21 = 0$ Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 4 - 84 = -80$. Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных решений. Этот случай невозможен.

Случай Б: Самый маленький квадрат имеет сторону $s_3$. Тогда $s_3^2 = 1$, что означает $s_3=1$ см. Подставим это значение в уравнение для площади прямоугольника $EFKD$: $(2s - 1) \cdot 1 = 21$ $2s - 1 = 21$ $2s = 22$ $s = 11$ см. В этом случае стороны квадратов равны $s_1=11$ см, $s_2=11$ см, $s_3=1$ см. Наименьшая сторона действительно $s_3=1$, так что это решение является верным.

7. Зная значения $\text{s}$ и $s_3$, мы можем найти размеры и периметр прямоугольника $ABCD$. Длина стороны $AB = s + s_3 = 11 + 1 = 12$ см. Длина стороны $BC = 2s = 2 \cdot 11 = 22$ см.

Периметр прямоугольника $ABCD$ вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (AB + BC)$. $P_{ABCD} = 2 \cdot (12 + 22) = 2 \cdot 34 = 68$ см.

Ответ: 68 см.