номер 3, страница 110, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо разобраться в определениях взаимно простых чисел и наименьшего общего кратного (НОК), а также в их взаимосвязи.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы. Иначе говоря, их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Например, числа 8 и 15 являются взаимно простыми. Делители числа 8: 1, 2, 4, 8. Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. Их единственный общий делитель — это 1, следовательно, $НОД(8, 15) = 1$.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или более натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Для любых двух натуральных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ существует фундаментальное свойство, связывающее их НОК и НОД:

$НОК(a, b) \cdot НОД(a, b) = a \cdot b$

Теперь применим это свойство к взаимно простым числам. Так как по определению для взаимно простых чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ их наибольший общий делитель $НОД(a, b) = 1$, мы можем подставить это значение в формулу:

$НОК(a, b) \cdot 1 = a \cdot b$

Из чего напрямую следует:

$НОК(a, b) = a \cdot b$

Это означает, что наименьшее общее кратное взаимно простых чисел всегда равно их произведению.

Рассмотрим на примере чисел 9 и 10. Они взаимно простые, $НОД(9, 10) = 1$.

Их наименьшее общее кратное будет равно их произведению:

$НОК(9, 10) = 9 \cdot 10 = 90$.

Данное правило верно и для нескольких попарно взаимно простых чисел. Например, для чисел 5, 7 и 11, которые попарно взаимно просты, их НОК будет равен их произведению:

$НОК(5, 7, 11) = 5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$.

Ответ: Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.