номер 566, страница 188, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

566. Запишите дроби $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{11}$ в виде суммы аликвотных дробей с различными знаменателями.

Аликвотная дробь — это дробь вида $\frac{1}{n}$, где $\text{n}$ — натуральное число. Задачу можно решить, представив каждую исходную дробь в виде суммы двух других аликвотных дробей с различными знаменателями. Для этого можно использовать следующее тождество: $\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}$. Это тождество верно, так как $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}$. Применим эту формулу для каждой из данных дробей.

$\frac{1}{3}$ Для $n=3$ по формуле получаем: $\frac{1}{3} = \frac{1}{3+1} + \frac{1}{3(3+1)} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$. Знаменатели 4 и 12 различны, следовательно, представление корректно. Ответ: $\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$.

$\frac{1}{5}$ Для $n=5$ по формуле получаем: $\frac{1}{5} = \frac{1}{5+1} + \frac{1}{5(5+1)} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}$. Знаменатели 6 и 30 различны. Ответ: $\frac{1}{5} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}$.

$\frac{1}{7}$ Для $n=7$ по формуле получаем: $\frac{1}{7} = \frac{1}{7+1} + \frac{1}{7(7+1)} = \frac{1}{8} + \frac{1}{56}$. Знаменатели 8 и 56 различны. Ответ: $\frac{1}{7} = \frac{1}{8} + \frac{1}{56}$.

$\frac{1}{9}$ Для $n=9$ по формуле получаем: $\frac{1}{9} = \frac{1}{9+1} + \frac{1}{9(9+1)} = \frac{1}{10} + \frac{1}{90}$. Знаменатели 10 и 90 различны. Ответ: $\frac{1}{9} = \frac{1}{10} + \frac{1}{90}$.

$\frac{1}{11}$ Для $n=11$ по формуле получаем: $\frac{1}{11} = \frac{1}{11+1} + \frac{1}{11(11+1)} = \frac{1}{12} + \frac{1}{132}$. Знаменатели 12 и 132 различны. Ответ: $\frac{1}{11} = \frac{1}{12} + \frac{1}{132}$.