номер 565, страница 188, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

565. Запишите дроби $\frac{5}{12}$, $\frac{9}{10}$, $\frac{2}{11}$, $\frac{8}{15}$, $\frac{15}{16}$ в виде суммы аликвотных дробей с различными знаменателями.

$\frac{5}{12}$

Для разложения дроби $\frac{5}{12}$ на аликвотные дроби найдем наибольшую из них, которая меньше или равна $\frac{5}{12}$. Это $\frac{1}{3}$, так как для знаменателя $\text{n}$ должно выполняться условие $n \ge \frac{12}{5}$, то есть $n \ge 2.4$. Наименьшее целое $\text{n}$ равно 3.

Вычтем $\frac{1}{3}$ из $\frac{5}{12}$:

$\frac{5}{12} - \frac{1}{3} = \frac{5}{12} - \frac{4}{12} = \frac{1}{12}$

В результате получили аликвотную дробь $\frac{1}{12}$. Таким образом, мы представили исходную дробь в виде суммы двух аликвотных дробей с разными знаменателями (3 и 12).

Ответ: $\frac{5}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{12}$

$\frac{9}{10}$

Воспользуемся жадным алгоритмом. Наибольшая аликвотная дробь, не превосходящая $\frac{9}{10}$, это $\frac{1}{2}$, поскольку для знаменателя $\text{n}$ должно выполняться условие $n \ge \frac{10}{9}$, то есть $n \ge 1.11...$. Наименьшее целое $n=2$.

Вычтем эту дробь: $\frac{9}{10} - \frac{1}{2} = \frac{9}{10} - \frac{5}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Теперь нужно разложить оставшуюся дробь $\frac{2}{5}$. Снова применяем алгоритм. Наибольшая аликвотная дробь, не превосходящая $\frac{2}{5}$, это $\frac{1}{3}$, так как $n \ge \frac{5}{2}$, то есть $n \ge 2.5$. Наименьшее целое $n=3$.

Вычтем: $\frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{6-5}{15} = \frac{1}{15}$.

Остаток $\frac{1}{15}$ является аликвотной дробью. Объединяя все части, получаем разложение с различными знаменателями (2, 3, 15).

Ответ: $\frac{9}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$

$\frac{2}{11}$

Применим жадный алгоритм. Найдем наименьшее натуральное число $\text{n}$, для которого $\frac{1}{n} \le \frac{2}{11}$. Это эквивалентно $n \ge \frac{11}{2}$ или $n \ge 5.5$. Наименьшее целое $n=6$.

Первая аликвотная дробь — $\frac{1}{6}$. Вычтем ее из исходной дроби:

$\frac{2}{11} - \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 - 1 \cdot 11}{66} = \frac{12 - 11}{66} = \frac{1}{66}$

Остаток $\frac{1}{66}$ также является аликвотной дробью. Знаменатели 6 и 66 различны.

Ответ: $\frac{2}{11} = \frac{1}{6} + \frac{1}{66}$

$\frac{8}{15}$

В данном случае удобно разложить числитель 8 на слагаемые, которые являются делителями знаменателя 15. Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.

Поскольку $8 = 3 + 5$, мы можем записать:

$\frac{8}{15} = \frac{3+5}{15} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15}$

Сократив полученные дроби, получаем сумму аликвотных дробей с различными знаменателями (3 и 5):

$\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ и $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{15} = \frac{1}{3} + \frac{1}{5}$

$\frac{15}{16}$

Знаменатель 16 является степенью двойки. В этом случае удобно представить числитель 15 в виде суммы степеней двойки, меньших 16, которые также являются делителями знаменателя: 1, 2, 4, 8.

Представим числитель как сумму: $15 = 8 + 4 + 2 + 1$.

Тогда дробь можно разложить на сумму следующим образом:

$\frac{15}{16} = \frac{8+4+2+1}{16} = \frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16}$

После сокращения каждой дроби получим сумму аликвотных дробей с различными знаменателями (2, 4, 8, 16).

Ответ: $\frac{15}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$