номер 570, страница 189, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

570. Найдите сумму:

$ \frac{1}{15} + \frac{1}{14 \cdot 15} + \frac{1}{13 \cdot 14} + \frac{1}{12 \cdot 13} + \frac{1}{11 \cdot 12} $

Для нахождения суммы воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Заметим, что слагаемые, начиная со второго, имеют вид $\frac{1}{n \cdot (n+1)}$. Такую дробь можно представить в виде разности двух дробей:

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Чтобы убедиться в справедливости этого тождества, приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$

Теперь применим это свойство к каждому соответствующему слагаемому в исходном выражении:

$\frac{1}{15} + \frac{1}{14 \cdot 15} + \frac{1}{13 \cdot 14} + \frac{1}{12 \cdot 13} + \frac{1}{11 \cdot 12}$

Разложим дроби:

• $\frac{1}{14 \cdot 15} = \frac{1}{14} - \frac{1}{15}$
• $\frac{1}{13 \cdot 14} = \frac{1}{13} - \frac{1}{14}$
• $\frac{1}{12 \cdot 13} = \frac{1}{12} - \frac{1}{13}$
• $\frac{1}{11 \cdot 12} = \frac{1}{11} - \frac{1}{12}$

Подставим полученные разности в исходную сумму:

$S = \frac{1}{15} + \left(\frac{1}{14} - \frac{1}{15}\right) + \left(\frac{1}{13} - \frac{1}{14}\right) + \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{12}\right)$

Раскроем скобки. В результате получается так называемая "телескопическая сумма", в которой промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:

$S = \frac{1}{15} + \frac{1}{14} - \frac{1}{15} + \frac{1}{13} - \frac{1}{14} + \frac{1}{12} - \frac{1}{13} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12}$

Сгруппируем слагаемые, чтобы увидеть сокращение:

$S = \frac{1}{11} + \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{12}\right) + \left(\frac{1}{13} - \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{14} - \frac{1}{14}\right) + \left(\frac{1}{15} - \frac{1}{15}\right)$

Все пары слагаемых в скобках дают в сумме ноль. Таким образом, от всей суммы остается только один член:

$S = \frac{1}{11} + 0 + 0 + 0 + 0 = \frac{1}{11}$

Ответ: $\frac{1}{11}$